Câu 30: Chọn B.
Tập xác định $D=mathbb{R}backslash left{ 3 right}$.
Ta có ${y}’=frac{-6}{{{left( x-3 right)}^{2}}}<0,,forall xin D$ do đó hàm số nghịch biến trên các khoảng $left( -infty ;3 right)$và $left( 3;+infty right)$.
Câu 31: Chọn D.
Hình chiếu của $SC$ lên $left( ABCD right)$ là $AC$
Do đó $widehat{left[ SC,left( ABCD right) right]}=widehat{SCA}$
$AC=sqrt{A{{B}^{2}}+A{{D}^{2}}}=sqrt{4{{a}^{2}}+{{a}^{2}}}=asqrt{5}$ $Rightarrow SC=2asqrt{2}$
Trong tam giác vuông $SAC$: $cos widehat{SCA}=frac{AC}{SC}=frac{asqrt{5}}{2asqrt{2}}=frac{sqrt{10}}{4}$.
Câu 32: Chọn B.
$I=intlimits_{0}^{2}{left( 2x-1 right)text{d}x}$$=left. left( {{x}^{2}}-x right) right|_{0}^{2}=2$.
Câu 33: Chọn C.
$vec{a}=left( 3;2;1 right)$, $vec{b}=left( -2;0;1 right)$ $Rightarrow vec{a}+vec{b}=left( 1;2;2 right)$ $Rightarrow left| vec{a}+vec{b} right|=sqrt{1+4+4}=3$.
Câu 34: Chọn A.
$overrightarrow{AB}=left( -3;-3;2 right)$, ${{vec{n}}_{P}}=left( 1;-3;2 right)$
$left[ overrightarrow{AB},,{{{vec{n}}}_{P}} right]=left( 0;8;12 right)$
Khi đó $left( alpha right)$ có 1 VTPT là: $vec{n}=left( 0;2;3 right)$ và qua $Aleft( 2;4;1 right)$
Phương trình $left( alpha right)$ là: $2left( y-4 right)+3left( z-1 right)=0$ $Leftrightarrow 2y+3z-11=0$.
Câu 35: Chọn C.
A sai vì hàm số khồng có giá trị lớn nhất.
B sai vì giá trị cực tiểu của hàm số là $-3$.
D sai vì hàm số có $3$ cực trị.
Câu 36: Chọn C.
Câu 37: Chọn C.
Phương trình $sqrt{3}sin x+cos x=m$ có nghiệm khi:
${{left( sqrt{3} right)}^{2}}+1ge {{m}^{2}}$$Leftrightarrow {{m}^{2}}le 4$$Leftrightarrow -2le mle 2$.
Câu 38: Chọn A.
Dễ thấy $O.ABC$ là hình chóp đều, $Delta ABC$ đều cạnh $2sqrt{2}$.
Do đó diện tích toàn phần của tứ diện $OABC$ là: ${{S}_{tp}}=3{{S}_{Delta OAB}}+{{S}_{Delta ABC}}=6+2sqrt{3}$.
Mà ${{V}_{OABC}}=frac{1}{6}.OA.OB.OC=frac{4}{3}$.
Ta có bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện $OABC$ là $r=frac{3{{V}_{OABC}}}{{{S}_{tp}}}=frac{4}{6+2sqrt{3}}=frac{2}{3+sqrt{3}}$.
Câu 39: Chọn C.
Gọi $Bleft( 0;b;0 right),,Cleft( 0;0;c right)$, khi đó $b,,c>0$.
Phương trình mặt phẳng $left( P right)equiv left( ABC right):frac{x}{2}+frac{y}{b}+frac{z}{c}=1$.
Mà $Min left( P right)$$Rightarrow frac{1}{2}+frac{1}{b}+frac{1}{c}=1$$Leftrightarrow frac{1}{b}+frac{1}{c}=frac{1}{2}$$Leftrightarrow bc=2left( b+c right)$.
Do $bc=2left( b+c right)le frac{{{left( b+c right)}^{2}}}{4}$$Rightarrow {{left( b+c right)}^{2}}ge 8left( b+c right)$$Rightarrow b+cge 8$ (do $b,,c>0$).
Ta có: $overrightarrow{AB}=left( -2;b;0 right),,overrightarrow{AC}=left( -2;0;c right)$$Rightarrow left[ overrightarrow{AB},overrightarrow{AC} right]=left( bc;2c;2b right)$.
Do đó ${{S}_{Delta ABC}}=frac{1}{2}left| left[ overrightarrow{AB},overrightarrow{AC} right] right|$$=frac{1}{2}sqrt{{{b}^{2}}{{c}^{2}}+4{{b}^{2}}+4{{c}^{2}}}$
$=sqrt{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+{{left( b+c right)}^{2}}}$$ge sqrt{frac{1}{2}{{left( b+c right)}^{2}}+{{left( b+c right)}^{2}}}$$=frac{sqrt{6}}{2}left( b+c right)$.
Vậy ${{S}_{Delta ABC}}ge 4sqrt{6}$.
Dấu “=” xảy ra khi $left{ begin{array}{l}
b,,c > 0\
b + c = 8\
b = c
end{array} right. Leftrightarrow b = c = 4$.
Câu 40: Chọn C.
Theo bài ra ta có $A(2;0;0),,,B(0;3;0),,C(0;0;4)$ nên mặt phẳng $(ABC)$ có phương trình $frac{x}{2}+frac{y}{3}+frac{z}{4}=1Leftrightarrow 6x+4y+3z-12=0.$.
Câu 41: Chọn B.
Gọi số căn hộ bỏ trống là $2x$ (với $0le xle 25$) thì giá cho thuê căn hộ là $2000+100x$(nghìn đồng). Khi đó thu nhập là $f(x)=left( 2000+100x right)left( 50-2x right)$
Ta có $f(x)=frac{1}{50}left( 2000+100x right)left( 2500-100x right)le frac{1}{50}.{{left( frac{4500}{2} right)}^{2}}$
Đẳng thức xảy ra $Leftrightarrow x=frac{5}{2}.$
Vậy số căn hộ cho thuê là $45$, với giá $2250$nghìn đồng, tức $2250000$đồng.
Câu 42: Chọn A.
Đặt $t=4-x$.
Ta có $intlimits_{1}^{3}{xfleft( x right)text{d}x}=intlimits_{1}^{3}{xfleft( 4-x right)text{d}x}=intlimits_{1}^{3}{left( 4-t right)fleft( t right)text{d}t}=4intlimits_{1}^{3}{fleft( t right)text{d}t}-intlimits_{1}^{3}{t.fleft( t right)text{d}t}$
$Rightarrow 5=4intlimits_{1}^{3}{fleft( t right)text{d}t}-5Rightarrow intlimits_{1}^{3}{fleft( t right)text{d}t}=frac{5}{2}$.
Câu 43: Chọn A.
Đường chéo hình lập phương bằng $sqrt{{{1}^{2}}+{{1}^{2}}+{{1}^{2}}}=sqrt{3}$.
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương là: $R=frac{sqrt{3}}{2}$.
Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương đó bằng: $S=4pi {{R}^{2}}$$=4pi {{left( frac{sqrt{3}}{2} right)}^{2}}=3pi $.
Câu 44: Chọn C.
Ta có ${{u}_{n}}=2{{u}_{n-1}}+3n-1$$Leftrightarrow {{u}_{n}}+3n+5=2left[ {{u}_{n-1}}+3left( n-1 right)+5 right]$, với $nge 2$; $nin mathbb{N}$.
Đặt ${{v}_{n}}={{u}_{n}}+3n+5$, ta có ${{v}_{n}}=2{{v}_{n-1}}$ với $nge 2$; $nin mathbb{N}$.
Như vậy, $left( {{v}_{n}} right)$ là cấp số nhân với công bội $q=2$ và ${{v}_{1}}=10$, do đó ${{v}_{n}}={{10.2}^{n-1}}={{5.2}^{n}}$.
Do đó ${{u}_{n}}+3n+5={{5.2}^{n}}$, hay ${{u}_{n}}={{5.2}^{n}}-3n-5$ với $nge 2$; $nin mathbb{N}$.
Suy ra $a=5$, $b=-3$, $c=-5$. Nên $a+b+c=5+left( -3 right)+left( -5 right)=-3$.
Câu 45: Chọn A.
Ta có $C_n^1 + C_n^2 = 55 Leftrightarrow n + frac{{nleft( {n – 1} right)}}{2} = 55 Leftrightarrow {n^2} + n – 110 = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
n = 10\
n = – 11
end{array} right. Rightarrow n = 10$
Số hạng tổng quát trong khai triển ${{left( {{x}^{3}}+frac{2}{{{x}^{2}}} right)}^{10}}$ là ${{T}_{k+1}}=C_{10}^{k}{{left( {{x}^{3}} right)}^{10-k}}.{{left( frac{2}{{{x}^{2}}} right)}^{k}}$$=C_{10}^{k}{{.2}^{k}}.{{x}^{30-5k}}$.
Số hạng chứa ${{x}^{5}}$ ứng với $30-5k=5Leftrightarrow k=5$.
Vậy, hệ số của ${{x}^{5}}$ trong khai triển của biểu thức ${{left( {{x}^{3}}+frac{2}{{{x}^{2}}} right)}^{10}}$ bằng $C_{10}^{5}{{.2}^{5}}=8064$.
Câu 46: Chọn B.
Có duy nhất một cách chia $30$ quyển sách thành $15$ bộ, mỗi bộ gồm hai quyển sách khác loại, trong đó có:
+ $4$ bộ giống nhau gồm $1$ toán và $1$ hóa.
+ $5$ bộ giống nhau gồm $1$ hóa và $1$ lí.
+ $6$ bộ giống nhau gồm $1$ lí và toán.
Số cách trao phần thưởng cho $15$ học sinh được tính như sau:
+ Chọn ra $4$ người (trong $15$người) để trao bộ sách toán và hóa $Rightarrow $ có $C_{15}^{4}$ cách.
+ Chọn ra $5$ người (trong $11$ người còn lại) để trao bộ sách hóa và lí $Rightarrow $ có $C_{11}^{5}$ cách.
+ Còn lại $6$ người trao bộ sách toán và lí $Rightarrow $ có $1$ cách.
Vậy số cách trao phần thưởng là $C_{15}^{4}.C_{11}^{5}=C_{15}^{6}.C_{9}^{4}=630630$ (cách).
Câu 47: Chọn A.
$sin 2x = cos x Leftrightarrow sin 2x = sin left( {frac{pi }{2} – x} right) Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = frac{pi }{6} + frac{{kpi }}{3}\
x = frac{pi }{2} + k2pi
end{array} right.left( {k in Z} right)$.
Câu 48: Chọn D.
Theo lý thuyết.
Câu 49: Chọn D.
Điều kiện: $x-1>0$$Leftrightarrow x>1$.
${{log }_{4}}left( x-1 right)=3$$Leftrightarrow x-1={{4}^{3}}$$Leftrightarrow x=65$.
Câu 50: Chọn B.
Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$. Do $ABC$ là tam giác đều nên $G$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.
Ta có $AG=frac{2}{3}AM$$=frac{2}{3}.frac{asqrt{3}}{2}$$=frac{asqrt{3}}{3}$.
Vậy thể tích của khối trụ ngoại tiếp hình lăng trụ là $V=pi {{R}^{2}}h$$=frac{pi {{a}^{2}}h}{3}$.
