Câu 1. (2,0 điểm).
- Rút gọn biểu thức $T=left( dfrac{sqrt{a}+1}{sqrt{ab}+1}+dfrac{sqrt{ab}+sqrt{a}}{sqrt{ab}-1}-1 right):left( dfrac{sqrt{a}+1}{sqrt{ab}+1}-dfrac{sqrt{ab}+sqrt{a}}{sqrt{ab}-1}+1 right)$
b) Cho $x+sqrt{3}=2.$ Tính giá trị của biểu thức: $H={{x}^{5}}-3{{x}^{4}}-3{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}-20x+2023$
Lời giải
a)Điều kiện: (left{ begin{align} & age 0 \ & bge 0 \ & abne 1 \ end{align} right.)
|
Ta có: |
$dfrac{sqrt{a}+1}{sqrt{ab}+1}+dfrac{sqrt{ab}+sqrt{a}}{sqrt{ab}-1}-1=dfrac{2sqrt{ab}left( sqrt{a}+1 right)}{ab-1}.$
|
Và |
$dfrac{sqrt{a}+1}{sqrt{ab}+1}-dfrac{sqrt{ab}+sqrt{a}}{sqrt{ab}-1}+1=dfrac{-2left( sqrt{a}+1 right)}{ab-1}.$
|
Nên |
$T=dfrac{2sqrt{ab}left( sqrt{a}+1 right)}{ab-1}:dfrac{-2left( sqrt{a}+1 right)}{ab-1}=-sqrt{ab}.$
|
b) Ta có : |
$x+sqrt{3}=2Leftrightarrow 2-x=sqrt{3}Rightarrow {{left( 2-x right)}^{2}}=3Leftrightarrow 4-4x+{{x}^{2}}=3Leftrightarrow {{x}^{2}}-4x+1=0.$
$H=left( {{x}^{5}}-4{{x}^{4}}+{{x}^{3}} right)+left( {{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+{{x}^{2}} right)+5left( {{x}^{2}}-4x+1 right)+2018.$
|
Suy ra: |
$H={{x}^{3}}left( {{x}^{2}}-4x+1 right)+{{x}^{2}}left( {{x}^{2}}-4x+1 right)+5left( {{x}^{2}}-4x+1 right)+2018.$
Do ${{x}^{2}}-4x+1=0$ nên $H=2018.$
Câu 2. ( 1,0 điểm). Cho Parabol $(P):y=dfrac{1}{2}{{x}^{2}}$ và đường thẳng $(d):y=left( m+1 right)x-{{m}^{2}}-dfrac{1}{2}$ ($m$ là tham số).
Với giá trị nào của $m$thì đường thẳng $(d)$ cắt Parabol $(P)$ tại hai điểm $A({{x}_{1}};{{y}_{1}}),B({{x}_{2}};{{y}_{2}})$sao cho biểu thức
$T={{y}_{1}}+{{y}_{2}}-{{x}_{1}}{{x}_{2}}$ đạt giá trị nhỏ nhất.
Lời giải
|
Phương trình hoành độ giao điểm: |
$dfrac{1}{2}{{x}^{2}}=left( m+1 right)x-{{m}^{2}}-dfrac{1}{2}Leftrightarrow {{x}^{2}}-2left( m+1 right)x+2{{m}^{2}}+1=0text{ }(1)$
|
Để $(d)$ cắt $(P)$ tại hai điểm $A({{x}_{1}};{{y}_{1}}),B({{x}_{2}};{{y}_{2}})$ thì phương trình (1) có hai nghiệm. $Delta ‘ge 0Leftrightarrow {{left( m+1 right)}^{2}}-2{{m}^{2}}-1=2m-{{m}^{2}}ge 0Leftrightarrow 0le mle 2.$ Vậy với $0le mle 2$thì đường thẳng$(d)$cắt Parabol $(P)$ tại hai điểm $A({{x}_{1}};{{y}_{1}}),B({{x}_{2}};{{y}_{2}})$ |
|
Khi đó theo định lý Viet thì (left{ begin{align} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2left( m+1 right) \ & {{x}_{1}}{{x}_{2}}=2{{m}^{2}}+1 \ end{align} right.) Ta có (begin{align} & {{y}_{1}}=(m+1){{x}_{1}}-{{m}^{2}}-dfrac{1}{2} \ & {{y}_{1}}=(m+1){{x}_{2}}-{{m}^{2}}-dfrac{1}{2} \ end{align}) |
( begin{align} & T={{y}_{1}}+{{y}_{2}}-{{x}_{1}}{{x}_{2}}=left( m+1 right)left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} right)-2{{m}^{2}}-1-{{x}_{1}}{{x}_{2}} \ & =2{{left( m+1 right)}^{2}}-4{{m}^{2}}-2=-2{{m}^{2}}+4m=2-2{{left( m-1 right)}^{2}},forall min left[ 0,2 right]. \ end{align})
|
Đặt $t=m-1$. Do $min left[ 0,2 right]Rightarrow tin left[ -1,1 right]Rightarrow {{t}^{2}}in left[ 0,1 right].$ Nên $T=2-2{{left( m-1 right)}^{2}}=2-2{{t}^{2}}ge 0.$ |
Vậy giá trị nhỏ nhất của $T$ bằng $0$ đạt được khi ${{t}^{2}}=1Leftrightarrow {{left( m-1 right)}^{2}}=1Leftrightarrow m=0;m=2.$
Câu 3. (2,0 điểm).
a) Giải phương trình: $sqrt{x+1}+sqrt{6x-14}={{x}^{2}}-5$
b) Giải hệ phương trình: $left{ begin{align}
& left( {{x}^{2}}+1 right)left( {{y}^{2}}+1 right)=10 \
& left( x+y right)left( xy-1 right)=3 \
end{align} right.$
Lời giải
a) Điều kiện: $xge dfrac{7}{3}.$
|
Ta có: |
$sqrt{x+1}+sqrt{6x-14}={{x}^{2}}-5Leftrightarrow sqrt{x+1}-2+sqrt{6x-14}-2={{x}^{2}}-9.$$Leftrightarrow dfrac{x-3}{sqrt{x+1}+2}+dfrac{6left( x-3 right)}{sqrt{6x-14}+2}-left( x-3 right)left( x+3 right)=0.$
$Leftrightarrow left( x-3 right)left[ dfrac{1}{sqrt{x+1}+2}+dfrac{6}{sqrt{6x-14}+2}-left( x+3 right) right]=0.$
$Leftrightarrow left[ begin{align}
& x-3=0 \
& dfrac{1}{sqrt{x+1}+2}+dfrac{6}{sqrt{6x-14}+2}-left( x+3 right)=0 \
end{align} right.Leftrightarrow left[ begin{align}
& x=3 \
& dfrac{1}{sqrt{x+1}+2}+dfrac{6}{sqrt{6x-14}+2}=left( x+3 right)text{ }left( * right) \
end{align} right..$
Ta có $left{ begin{align}
& VTleft( * right)<dfrac{7}{2} \
& VPleft( * right)>dfrac{16}{3} \
end{align} right.text{ }left( forall xge dfrac{7}{3} right)Rightarrow text{ }PTleft( * right)VN.$
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x=3.$
b) $begin{align}
& left{ begin{align}
& left( {{x}^{2}}+1 right)({{y}^{2}}+1)=10 \
& left( x+y right)left( xy-1 right)=3 \
end{align} right.Leftrightarrow left{ begin{align}
& {{x}^{2}}{{y}^{2}}+{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1=10 \
& left( x+y right)left( xy-1 right)=3 \
end{align} right.Leftrightarrow left{ begin{align}
& {{left( x+y right)}^{2}}+{{left( xy-1 right)}^{2}}=10 \
& left( x+y right)left( xy-1 right)=3 \
end{align} right.text{ }left( I right) \
& \
end{align}$
Đặt $left{ begin{align}
& x+y=u \
& xy-1=v \
end{align} right..$
|
|
Khi đó, ta có: $left( I right)Leftrightarrow left{ begin{align}
& {{u}^{2}}+{{v}^{2}}=10 \
& uv=3 \
end{align} right.Leftrightarrow left{ begin{align}
& {{left( u+v right)}^{2}}-2uv=10 \
& uv=3 \
end{align} right.Leftrightarrow left{ begin{align}
& {{left( u+v right)}^{2}}=16 \
& uv=3 \
end{align} right.$
$Leftrightarrow left[ begin{align}
& left{ begin{align}
& u+v=4 \
& uv=3 \
end{align} right. \
& left{ begin{align}
& u+v=-4 \
& uv=3 \
end{align} right. \
end{align} right.Leftrightarrow left[ begin{align}
& left{ begin{align}
& u=1 \
& v=3 \
end{align} right. \
& left{ begin{align}
& u=3 \
& v=1 \
end{align} right. \
& left{ begin{align}
& u=-1 \
& v=-3 \
end{align} right. \
& left{ begin{align}
& u=-3 \
& v=-1 \
end{align} right. \
end{align} right.$
Với $left{ begin{align}
& u=1 \
& v=3 \
end{align} right.Leftrightarrow left{ begin{align}
& x+y=1 \
& xy=4 \
end{align} right.text{ }left( HPTVN right)$
Với $left{ begin{align}
& u=3 \
& v=1 \
end{align} right.Leftrightarrow left{ begin{align}
& x+y=3 \
& xy=2 \
end{align} right.Leftrightarrow left{ begin{align}
& left[ begin{align}
& x=1 \
& y=2 \
end{align} right. \
& left[ begin{align}
& x=2 \
& y=1 \
end{align} right. \
end{align} right.$
Với $left{ begin{align}
& u=-1 \
& v=-3 \
end{align} right.Leftrightarrow left{ begin{align}
& x+y=-1 \
& xy=-2 \
end{align} right.Leftrightarrow left[ begin{align}
& left{ begin{align}
& x=1 \
& y=-2 \
end{align} right. \
& left{ begin{align}
& x=-2 \
& y=1 \
end{align} right. \
end{align} right.$
Với $left{ begin{align}
& u=-3 \
& v=-1 \
end{align} right.Leftrightarrow left{ begin{align}
& x+y=-3 \
& xy=0 \
end{align} right.Leftrightarrow left{ begin{align}
& left[ begin{align}
& x=0 \
& y=-3 \
end{align} right. \
& left[ begin{align}
& x=-3 \
& y=0 \
end{align} right. \
end{align} right.$
Vậy hệ phương trình có các nghiệm là: $left( 1;2 right),left( 2;1 right),left( 1;-2 right),left( -2;1 right),left( 0;-3 right),left( -3;0 right)$
