Câu 30: Chọn A.
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số có đạo hàm cấp $1$ và ${y}’=0$ tại $x=-1$ và không xác định tại $x=0$, đồng thời ${y}’$ đổi dấu khi đi qua các điểm $x=-1$ và $x=0$.
Do đó hàm số có hai điểm cực trị là $x=-1$ và $x=0$.
Câu 31: Chọn D.
Ta chứng minh được:
w $BCbot left( SAB right)Rightarrow BCbot SBRightarrow Delta SBC$ vuông tại $B$.
w $CDbot left( SAD right)Rightarrow CDbot SDRightarrow Delta SCD$ vuông tại $D$.
w $SAbot left( ABCD right)Rightarrow SAbot ACRightarrow Delta SAC$vuông tại $A$.
Gọi $O$ là trung điểm cạnh $SC$. Khi đó: $OA=OC=OD=OB=OS=frac{1}{2}SC$.
Do đó $O$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp $S.ABCD$.
Bán kính mặt cầu là: $R=frac{1}{2}SC=frac{1}{2}sqrt{S{{A}^{2}}+A{{C}^{2}}}=frac{1}{2}sqrt{4{{a}^{2}}+2{{a}^{2}}}=frac{asqrt{6}}{2}$.
Diện tích mặt cầu: $S=4pi {{R}^{2}}=4pi .frac{3{{a}^{2}}}{2}=6pi {{a}^{2}}$.
Câu 32: Chọn C.
Ta có: ${log _2}left( {3 – 2x} right) = 3 Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
3 – 2x > 0\
3 – 2x = 8
end{array} right. Leftrightarrow x = – frac{5}{2}$
Câu 33: Chọn B.
Ta có $sin x+sqrt{3}cos x=1$$Leftrightarrow frac{1}{2}sin x+frac{sqrt{3}}{2}cos x=frac{1}{2}$$Leftrightarrow sin left( x+frac{pi }{3} right)=sin frac{pi }{6}$
$ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x + frac{pi }{3} = frac{pi }{6} + k2pi \
x + frac{pi }{3} = pi – frac{pi }{6} + k2pi
end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = – frac{pi }{6} + k2pi \
x = frac{pi }{2} + k2pi
end{array} right.left( {k in Z} right)$.
Câu 34: Chọn B.
Phương trình ${{25}^{x}}-{{20.5}^{x-1}}+3=0Leftrightarrow {{5}^{2x}}-{{4.5}^{x}}+3=0$.
Đặt $t={{5}^{x}}$, $t>0$.
Khi đó, ta được phương trình ${{t}^{2}}-4t+3=0$.
Câu 35: Chọn A.
Điều kiện $sin x+cos xne 0$$Leftrightarrow sin left( x+frac{pi }{4} right)ne 0$$Leftrightarrow x+frac{pi }{4}ne kpi $$Leftrightarrow xne -frac{pi }{4}+kpi ,left( kin mathbb{Z} right)$.
Ta có: $frac{sin xsin 2x+2sin x{{cos }^{2}}x+sin x+cos x}{sin x+cos x}=sqrt{3}cos 2x$
$Leftrightarrow frac{sin 2xleft( sin x+cos x right)+sin x+cos x}{sin x+cos x}=sqrt{3}cos 2x$
$Leftrightarrow frac{left( sin 2x+1 right)left( sin x+cos x right)}{sin x+cos x}=sqrt{3}cos 2x$
$Leftrightarrow sin 2x-sqrt{3}cos 2x=-1$$Leftrightarrow sin left( 2x-frac{pi }{3} right)=sin left( -frac{pi }{6} right)$
$ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
2x – frac{pi }{3} = – frac{pi }{6} + k2pi \
2x – frac{pi }{3} = pi + frac{pi }{6} + k2pi
end{array} right.$$ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = frac{pi }{{12}} + kpi \
x = frac{{3pi }}{4} + kpi
end{array} right.left( {k in Z} right)$.
Thử lại điều kiện, phương trình đã cho có nghiệm là: $x=frac{pi }{12}+kpi left( kin mathbb{Z} right)$.
Trên $left( -pi ;pi right)$ phương trình đã cho có các nghiệm là: $frac{pi }{12};-frac{11pi }{12}$.
Câu 36: Chọn B.
$P={{x}^{frac{1}{3}}}.sqrt[4]{x}={{x}^{frac{1}{3}}}.{{x}^{frac{1}{4}}}={{x}^{frac{7}{12}}}$.
Câu 37. Chọn C.
Dựa vào đồ thị ta có:
+ Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang $y=a$$=1>0$.
+ Đồ thị hàm số đi qua điểm $left( 0;-2 right)$$Rightarrow b=-2<0$.
+ Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định nên${y}'<0$$Rightarrow -a+b<0$$Rightarrow b<a$.
Vậy $b<0<a$.
Câu 38. Chọn A.
Gọi ${{x}_{0}}$ là hoành độ tiếp điểm $left( {{x}_{0}}>0 right)$.
Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng $y=frac{1}{3}x-5$ nên ta có: ${y}’left( {{x}_{0}} right)=-3$
$Leftrightarrow frac{-3}{{{left( {{x}_{0}}-1 right)}^{2}}}=-3$$Leftrightarrow {{left( {{x}_{0}}-1 right)}^{2}}=1$$Leftrightarrow {{x}_{0}}^{2}-2{{x}_{0}}=0$$ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
{x_0} = 0{rm{ }}(loai)\
{x_0} = 2
end{array} right.$ $Leftrightarrow {{x}_{0}}=2$$Rightarrow {{y}_{0}}=4$.
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: $y=-3left( x-2 right)+4$$=-3x+10$.
Câu 39. Chọn D.
Ta có ${{u}_{n}}={{u}_{1}}+left( n-1 right)d$$Leftrightarrow 81=-5+left( n-1 right)2$$Leftrightarrow n=44$ .
Vậy $81$ là số hạng thứ $44$.
Câu 40. Chọn B.
Diện tích $Delta ABC$ là ${{S}_{Delta ABC}}=frac{{{a}^{2}}sqrt{3}}{4}$.
$SAbot left( ABC right)$ nên $AB$ là hình chiếu của $SB$ lên $left( ABC right)$.
$Rightarrow widehat{left( SB,left( ABC right) right)}=widehat{left( SB,AB right)}=widehat{SBA}=60{}^circ $.
$Delta SAB$ vuông tại $A$ có $widehat{SBA}=60{}^circ $, ta có $SA=AB.tan widehat{SBA}=asqrt{3}$.
Thể tích khối chóp là $V=frac{1}{3}.{{S}_{Delta ABC}}.SA=frac{1}{3}.frac{{{a}^{2}}sqrt{3}}{4}.asqrt{3}=frac{{{a}^{3}}}{4}$.
Câu 41: Chọn B.
Đặt $AD=x,text{km}$, $xin left[ 0;,40 right]$$Rightarrow BD=40-x$$Rightarrow CD=sqrt{{{left( 40-x right)}^{2}}+{{10}^{2}}}$.
Tổng kinh phí đi từ $A$ đến $C$ là $fleft( x right)=x.3+sqrt{{{left( 40-x right)}^{2}}+{{10}^{2}}}.5$.
$fleft( x right)=3x+5sqrt{{{x}^{2}}-80x+1700}$.
${f}’left( x right)=3+5frac{2x-80}{2sqrt{{{x}^{2}}-80x+1700}}$$Leftrightarrow {f}’left( x right)=frac{3sqrt{{{x}^{2}}-80x+1700}+5x-200}{sqrt{{{x}^{2}}-80x+1700}}$.
${f}’left( x right)=0$$Leftrightarrow 3sqrt{{{x}^{2}}-80x+1700}=200-5x$$Leftrightarrow x=frac{65}{2}$.
Bảng biến thiên
Câu 42: Chọn B.
Đặt $t={{log }_{9}}x={{log }_{12}}y={{log }_{16}}left( x+y right)$.
$Rightarrow x={{9}^{t}}$, $y={{12}^{t}}$, $x+y={{16}^{t}}$.
$Rightarrow {{9}^{t}}+{{12}^{t}}={{16}^{t}}$$Leftrightarrow {{left( frac{3}{4} right)}^{2t}}+{{left( frac{3}{4} right)}^{t}}=1$$Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
{left( {frac{3}{4}} right)^t} = frac{{ – 1 – sqrt 5 }}{2},,(loai)\
{left( {frac{3}{4}} right)^t} = frac{{ – 1 + sqrt 5 }}{2}
end{array} right.$
Vậy $frac{x}{y}={{left( frac{3}{4} right)}^{t}}=frac{-1+sqrt{5}}{2}$$ Rightarrow left{ begin{array}{l}
a = 1\
b = 5
end{array} right.$$Rightarrow a.b=5$.
Câu 43: Chọn A.
Ta có $ABparallel left( {A}'{B}'{C}’ right)$$Rightarrow dleft( AB,,{B}'{C}’ right)=dleft( AB,,left( {A}'{B}'{C}’ right) right)=dleft( B,,left( {A}'{B}'{C}’ right) right)$.
${{S}_{Delta ABC}}=frac{{{a}^{2}}}{2}$.
$V={{S}_{Delta ABC}}.h$$Leftrightarrow h=frac{V}{{{S}_{Delta ABC}}}=frac{frac{4{{a}^{3}}}{3}}{frac{{{a}^{2}}}{2}}=frac{8a}{3}$.
Câu 44: Chọn D.
Dựa vào đồ thị hàm số, phương trình $fleft( x right)={{log }_{2}}m$ có đúng ba nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi $left{ begin{array}{l}
m > 0\
– 1 < {log _2}m < 3
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
m > 0\
frac{1}{2} < m < 8
end{array} right.$$Leftrightarrow frac{1}{2}<m<8$.
Do $m$ là số nguyên dương nên $min left{ 1;,2;,3;,4;,5;,6;,7 right}$.
Câu 45: Chọn A.
Ta có: ${{9}^{x+1}}-20.,{{3}^{x}}+8=0$$Leftrightarrow {{9.9}^{x}}-20.,{{3}^{x}}+8=0$.
Đặt $t={{3}^{x}}$ với $t>0$, khi đó phương trình đã cho trở thành: $9{{t}^{2}}-20t+8=0$.
Gọi ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}$ là hai nghiệm của phương trình đã cho, ta có: ${{t}_{1}}={{3}^{{{x}_{1}}}}$ và ${{t}_{2}}={{3}^{{{x}_{2}}}}$.
Theo định lí Vi – ét, ta có: ${{t}_{1}}+{{t}_{2}}={{3}^{{{x}_{1}}}}+{{3}^{{{x}_{2}}}}=frac{20}{9}$.
Và: ${{t}_{1}}{{t}_{2}}={{3}^{{{x}_{1}}}}.,{{3}^{{{x}_{2}}}}=frac{8}{9}Leftrightarrow {{x}_{1}}+{{x}_{2}}={{log }_{3}}frac{8}{9}$.
Câu 46: ‘Chọn B.
Ta có: ${y}’=frac{{{left( {{x}^{2}}+x+1 right)}^{prime }}}{left( {{x}^{2}}+x+1 right)ln 2}=frac{2x+1}{left( {{x}^{2}}+x+1 right)ln 2}$.
Câu 47: Chọn A.
Tập xác định: $D=mathbb{R}$. Đạo hàm: ${f}’left( x right)=-3{{x}^{2}}+3$.
Xét ${f}’left( x right)=0Leftrightarrow -3{{x}^{2}}+3=0$$ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = 1 Rightarrow y = – 2\
x = – 1 Rightarrow y = – 6
end{array} right.$. Đặt $Aleft( 1,;,-2 right)$ và $Bleft( -1,;,-6 right)$.
Ta thấy hai điểm $A$ và $B$ nằm cùng phía với trục hoành.
Gọi ${A}’left( 1,;,2 right)$ là điểm đối xứng với điểm $A$ qua trục hoành. Chu vi tam giác $MAB$ đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi ba điểm $B$, $M$ và ${A}’$ thẳng hàng.
Ta có: $overrightarrow {A’M} = left( {{x_0} – 1,;, – 2} right)$ và $overrightarrow{{A}’B}=left( -2,;,-8 right)$$Rightarrow frac{{{x}_{0}}-1}{-2}=frac{-2}{-8}$$Leftrightarrow {{x}_{0}}=frac{1}{2}$$Rightarrow Mleft( frac{1}{2},;,0 right)$.
Vậy $T=4.,frac{1}{2}+2015=2017$.
Câu 48. Chọn D.
Ta có $underset{xto {{left( frac{1}{2} right)}^{+}}}{mathop{lim }},frac{3x+2}{-2x+1}=+infty $, $underset{xto {{left( frac{1}{2} right)}^{-}}}{mathop{lim }},frac{3x+2}{-2x+1}=-infty $ nên đồ thị hàm số nhận đường thẳng $x=frac{1}{2}$ là tiệm cận đứng.
$underset{xto pm infty }{mathop{lim }},frac{3x+2}{-2x+1}=frac{-3}{2}$ nên đồ thị hàm số nhận đường thẳng $y=frac{-3}{2}$là tiệm cận ngang.
Vậy đồ thị hàm số có $2$ đường tiệm cận.
Câu 49. Chọn D.
Ta có ${f}’left( x right)=5{{x}^{4}}-15{{x}^{2}}-20$,
${f}’left( x right)=0$$Leftrightarrow 5{{x}^{4}}-15{{x}^{2}}-20=0$$ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
{x^2} = 4\
{x^2} = – 1
end{array} right.$. Do ${{x}^{2}}ge 0$$Rightarrow {{x}^{2}}=4$$Rightarrow x=pm 2$.
Mà $xin left[ -1;3 right]$ nên $x=2$.
Ta có $fleft( -1 right)=26$, $fleft( 2 right)=-46$, $fleft( 3 right)=50$.
So sánh các giá trị ta được giá trị lớn nhất của hàm số là $M=50$.
Câu 50. Chọn B.
Ta thấy nhánh ngoài cùng bên phải của đồ thị hướng xuốn dưới nên $a<0$.
Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ âm nên $d<0$
Ta có ${y}’=3a{{x}^{2}}+2bx+c$, ${y}’=0Leftrightarrow 3a{{x}^{2}}+2bx+c=0$
Hàm số có hai điểm cực trị ${{x}_{1}}>0$,${{x}_{2}}>0$
Suy ra ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}>0$ $Rightarrow -frac{2b}{3a}>0$. Mà $a<0$ nên $b>0$.
${{x}_{1}}{{x}_{2}}>0$$Rightarrow frac{c}{3a}>0$. Mà $a<0$ nên $c<0$.
Vậy $a<0$,$b>0$,$c<0$,$d<0$.
