Câu 30: Đáp án D
Dựng $C,x//BDRightarrow dleft( BD;SC right)=dleft( BD;left( SCx right) right)$
Dựng $AKbot CE;AHbot SK$
Khi đó Cx cắt AB tại E và AK tại I suy ra BI là đường trung bình của $Delta AEK$( Do BD qua trung điểm O của AC)
Ta có: $d=dleft( I;left( SCE right) right)=frac{1}{2}{{d}_{A}}=frac{AH}{2}$
Do $AK=2AI=2.frac{AB.AD}{sqrt{A{{B}^{2}}+A{{D}^{2}}}}=frac{4a}{sqrt{5}}Rightarrow AH=frac{SA.AK}{sqrt{S{{A}^{2}}+A{{K}^{2}}}}$
$=frac{4a}{3}Rightarrow d=frac{2a}{3}$
Câu 31: Đáp án A
Kí hiệu bán kính đáy của hình nón là x, chiều cao hình nón là y (trong đó $0<xle 2R;0<yle R$). Gọi SS’là đường kính của mặt cầu ngoại tiếp hình nón thì ta có:
${{x}^{2}}=yleft( 2R-y right)$(hệ thức lượng trong tam giác vuông)
Gọi ${{V}_{1}}$là thể tích khối nón: ${{V}_{1}}=frac{pi }{3}{{x}^{2}}y=frac{pi }{6}.y.y.left( 4R-2y right)$
Mặt khác $y.y.left( 2R-y right)le {{left( frac{y+y+4R-2y}{3} right)}^{3}}=frac{64}{27}{{R}^{3}}$
Do đó $Vle frac{32pi }{81}$dấu bằng xảy ra $Leftrightarrow y=frac{4R}{3};x=frac{2Rsqrt{2}}{3}$
Khi đó $OH=y-R=frac{R}{3}=2,cm$
Câu 32: Đáp án D
Đặt $t={{x}^{2}}+1Rightarrow dt=2xdxRightarrow intlimits_{1}^{2}{fleft( {{x}^{2}}+1 right)xdx=intlimits_{2}^{5}{fleft( t right).frac{dt}{2}=frac{1}{2}intlimits_{2}^{5}{fleft( x right)dx=2}}}$
Do đó $I=intlimits_{2}^{5}{fleft( x right)dx=4}$
Câu 33: Đáp án A
Ta có: $v=200Rightarrow {{t}^{2}}+10t=200Leftrightarrow t=10s$
Máy bay di chuyển trên đường bang từ thời điểm $t=0$đến thời điểm $t=10$, do đó quãng đường đi trên đường băng là: $S=intlimits_{0}^{10}{left( {{t}^{2}}+10t right)dx}=frac{2500}{3}left( m right)$
Câu 34: Đáp án B
ĐK: $x>0Rightarrow left( {{log }_{2}}x-1 right)left( {{log }_{3}}x-1 right)le 0Leftrightarrow left( x-2 right)left( x-3 right)le 0Leftrightarrow 2le xle 3$
Phương trình có 2 nghiệm nguyên là $x=2;x=3$
Câu 35: Đáp án A
Gọi $Aleft( 1+t;2+3t;t right)in {{d}_{1}};Bleft( -1-u;1+2u;2+4u right)in {{d}_{2}}$
Ta có: $overrightarrow {MA} = k.overrightarrow {MB} Rightarrow left{ begin{array}{l}
t – 2 = kleft( { – u – 4} right)\
3t – 1 = kleft( {2u – 2} right)\
t + 2 = kleft( {4u + 4} right)
end{array} right.$
Giả hệ với ẩn t; k và $ku Rightarrow left{ begin{array}{l}
t = 0\
k = frac{1}{2}\
ku = 0
end{array} right. Rightarrow t = 0;u = 0 Rightarrow Aleft( {1;2;0} right);Bleft( { – 1;1;2} right) Rightarrow AB = 3$
Câu 36: Đáp án C
Gọi đường tròn (O) là đường tròn ngoại tiếp đa giác. Xét A là 1 đỉnh bất kỳ của đa giác,kẻ đường kính AA’ thì A’ cũng là 1 đỉnh của đa giác. Đường kính AA’ chia (O) thành 2 nửa đường tròn , với mỗi cách chọn ra 2 điểm B và C là 2 đỉnh của đa giác và cùng thuộc 1 nửa đường tròn, ta đường 1 tam giác tù ABC. Khi đó số cách chọn B và C là: $2C_{49}^{2}$
Đa giác có 100 đỉnh nên số đường chéo là đường kính của đường tròn ngoại tiếp đa giác là 50
Do đó, số cách chọn ra 3 đỉnh để lập thành 1 tam giác tù là: $50.2C_{49}^{2}=100C_{49}^{2}$
Không gian mẫu: $left| Omega right|=C_{100}^{3}Rightarrow P=frac{100C_{49}^{2}}{C_{100}^{3}}=frac{8}{11}$
Câu 37: Đáp án D
Hệ số góc của đường thẳng IM là: $frac{{{y}_{1}}-{{y}_{M}}}{{{x}_{1}}-{{x}_{M}}}=frac{2-b}{1-a}=frac{2-frac{2a-1}{a-1}}{1-a}=frac{1}{{{left( a-1 right)}^{2}}}$
Mặt khác tiếp tuyến tại M có hệ số góc $k=y’left( a right)=frac{-1}{{{left( a-1 right)}^{2}}}$
Giả thiết bài toán $ Leftrightarrow – frac{1}{{{{left( {a – 1} right)}^2}}} = – 1 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
a = 0left( {loai} right)\
a = 2 Rightarrow b = 3 Rightarrow a + b = 5
end{array} right.$
Câu 38: Đáp án A
Ta có: $y’=3+mleft( cos x-operatorname{s}text{inx} right)=3+msqrt{2}ctext{os}left( x+frac{pi }{4} right)$
Hàm số đồng biến trên $mathbb{R}$khi $y’ge 0left( forall xin mathbb{R} right)Leftrightarrow underset{mathbb{R}}{mathop{Min}},y’ge 0Leftrightarrow 3-left| msqrt{2} right|ge 0$
$Leftrightarrow left| m right|le frac{3}{sqrt{2}}xrightarrow{min mathbb{Z}}m=0;m=pm 1;m=pm 2.$ Vậy có 5 giá trị nguyên của m.
Câu 39: Đáp án B
Ta có $y’=sqrt[3]{{{x}^{2}}}+frac{2}{3}{{x}^{frac{-1}{3}}}left( x-1 right)=sqrt[3]{{{x}^{2}}}+frac{2left( x-1 right)}{3sqrt[3]{x}}=frac{5x-1}{3sqrt[3]{x}}$
Do y xác định tại các điểm $x=0;x=frac{2}{5}$và y’ đổi dấu qua các điểm này nên hàm số có 2 điểm cực trị.
Câu 40: Đáp án A
Giả thiết bài toán$Leftrightarrow $ điểm uốn của đồ thị hàm số$y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+1$thuộc đường thẳng. Mặt khác $Uleft( 1;-1 right)in dLeftrightarrow -1=3m-1+6m+3Leftrightarrow m=-frac{1}{3}$
Với $m=-frac{1}{3}$thử lại thấy thỏa mãn nên $m=-frac{1}{3}$là giá trị cần tìm.
Câu 41: Đáp án C
Ta có $ln x + ln y ge ln left( {{x^2} + y} right) Leftrightarrow ln left( {xy} right) ge ln left( {{x^2} + y} right) Leftrightarrow xy ge {x^2} + y Leftrightarrow yleft( {x – 1} right) ge {x^2} > 0 Rightarrow left{ begin{array}{l}
x > 1\
y > 0
end{array} right.$
Khi đó $yge frac{{{x}^{2}}}{x-1}Rightarrow P=x+yge x+frac{{{x}^{2}}}{x-1}=2left( x-1 right)+frac{1}{x-1}+3ge 2sqrt{2left( x-1 right).frac{1}{x-1}}+3=2sqrt{2}+3$
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là $3+2sqrt{2}$
Câu 42: Đáp án A
Đặt $t={{2}^{{{x}^{2}}-2x+1}}={{2}^{{{left( x-1 right)}^{2}}}}ge {{2}^{0}}=1,$ khi đó phương trình trở thành: ${{t}^{2}}-2mt+3m-2=0,,,,,,,,,left( 1 right)$
Dễ thấy $t=frac{3}{2}$không là nghiệm của (1), do đó $m=frac{{{t}^{2}}-2}{2t-3}to fleft( t right)=frac{{{t}^{2}}-2}{2t-3}$
Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt $Leftrightarrow m=fleft( t right)$ có 2 nghiệm phân biệt lớn hơn 1, khác $frac{3}{2}$ (*)
Xét hàm số $fleft( t right)=frac{{{t}^{2}}-2}{2t-3}$trên $left( 1;frac{3}{2} right)$và $left( frac{3}{2};+infty right)$, có $f’left( t right)=frac{2left( {{t}^{2}}-3t+2 right)}{{{left( 2t-3 right)}^{2}}}=0Leftrightarrow t=2$
Tính $fleft( 1 right)=1;fleft( 2 right)=2;underset{xto {{frac{3}{2}}^{+}}}{mathop{lim }},fleft( t right)=+infty ;underset{xto {{frac{3}{2}}^{-}}}{mathop{lim }},fleft( t right)=-infty $và $underset{xto +infty }{mathop{lim }},fleft( t right)=+infty $
Dựa vào bảng biến thiên, ta có (*) $Leftrightarrow m>2$là giá trị cần tìm
Câu 43: Đáp án A
Gọi O là tâm của tam giác ABC, Vì I, M lần lượt là trung điểm của EF, BC
Theo bài ra, ta có $AIbot left( SBC right)Rightarrow AIbot left( SBC right)Rightarrow Delta SAM$ cân tại A.
Do đó $SA=AM=frac{asqrt{3}}{2};AO=frac{2}{3}AM=frac{2}{3}.frac{asqrt{3}}{2}=frac{asqrt{3}}{3}$
$Rightarrow SP=sqrt{S{{A}^{2}}-O{{A}^{2}}}=sqrt{{{left( frac{asqrt{3}}{2} right)}^{2}}-{{left( frac{asqrt{3}}{3} right)}^{2}}}=frac{asqrt{15}}{6}$
Vậy ${{V}_{S.ABC}}=frac{1}{3}.SO.{{S}_{Delta ABC}}=frac{1}{3}.frac{asqrt{15}}{6}.frac{{{a}^{2}}sqrt{3}}{4}=frac{{{a}^{3}}sqrt{5}}{24}$
Câu 44: Đáp án B
Mặt cầu $left( S right):{{left( x-1 right)}^{2}}+{{left( y-2 right)}^{2}}+{{left( z-1 right)}^{2}}=2$có tâm $Ileft( 1;2;1 right),R=sqrt{2}$
Xét mặt phẳng thiết diện đi qua tâm I, hai tiếp điểm M, N và cắt d tại H.
Khi đó IH chính là khoảng cách từ điểm$Ileft( 1;2;1 right)$đến d.
Điểm $Kleft( 2;0;0 right)in dRightarrow overrightarrow{IK}=left( 1;-2;-1 right)Rightarrow fleft( I;left( d right) right)=frac{left| left[ overrightarrow{IK};{{overrightarrow{u}}_{d}} right] right|}{left| {{overrightarrow{u}}_{d}} right|}=sqrt{6}$
Suy ra $IH=sqrt{6},IM=IN=R=sqrt{2}.$ Gọi O là trung điểm của MN
Ta có $MO=frac{MH.MI}{IH}=frac{2}{sqrt{3}}Rightarrow MN=2,,x,,MO=frac{4sqrt{3}}{3}.$
Câu 45: Đáp án B
Gọi H là hình chiếu của O trên $left( P right)Rightarrow dleft( O;left( P right) right)=OHle OM$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $Hequiv MRightarrow {{overrightarrow{n}}_{left( P right)}}=left( 1;2;3 right)Rightarrow left( P right):x+2y+3z-14=0$
Mặt phẳng $left( P right)$cắt các trục tọa độ lần lượt tại $Aleft( 14;0;0 right),Bleft( 0;7;0 right),Cleft( 0;0;frac{14}{3} right)$
Vậy thể tích khối chóp OABC là ${{V}_{OABC}}=frac{OA.OB.OC}{6}frac{14.7frac{14}{3}}{6}=frac{686}{9}$
Câu 46: Đáp án D
Tách $7,cos x-4sin x=aleft( cos x+operatorname{s}text{inx} right)+bleft( cos x-operatorname{s}text{inx} right)=left( a+b right).cos x+left( a-b right).operatorname{s}text{inx}$
$ Rightarrow left{ begin{array}{l}
a + b = 7\
a – b = – 4
end{array} right. Leftrightarrow a = frac{3}{2};b = frac{{11}}{2} to 7cos x – 4{mathop{rm s}nolimits} {rm{inx}} = frac{3}{2}left( {cos x + {mathop{rm s}nolimits} {rm{inx}}} right) + frac{{11}}{2}left( {cos x – {mathop{rm s}nolimits} {rm{inx}}} right)$
Khi đó $2intlimits_{frac{pi }{4}}^{frac{pi }{2}}{fleft( x right)dx=intlimits_{frac{pi }{4}}^{frac{pi }{2}}{frac{3left( cos x+operatorname{s}text{inx} right)+11left( cos x-operatorname{s}text{inx} right)}{cos x+operatorname{s}text{inx}}}dx=intlimits_{frac{pi }{4}}^{frac{pi }{2}}{3dx+11intlimits_{frac{pi }{4}}^{frac{pi }{2}}{frac{dleft( cos x+operatorname{s}text{inx} right)}{cos x+operatorname{s}text{inx}}}}}$
$=left. frac{3pi }{4}+11.ln left| cos x+operatorname{s}text{inx} right| right|_{frac{pi }{4}}^{frac{pi }{2}}=frac{3pi }{4}-frac{11.ln 2}{2}Rightarrow intlimits_{frac{pi }{4}}^{frac{pi }{2}}{fleft( x right)dx=frac{3pi }{8}-frac{11.ln 2}{4}}$
Mà $intlimits_{frac{pi }{4}}^{frac{pi }{2}}{fleft( x right)dx=Fleft( frac{pi }{2} right)}-Fleft( frac{pi }{4} right)$ suy ra $Fleft( frac{pi }{2} right)=Fleft( frac{pi }{4} right)+frac{3pi }{8}-frac{11.ln 2}{4}=frac{3pi -11.ln 2}{4}$
Câu 47: Đáp án C
Ta có $intlimits_{0}^{1}{left[ 2fleft( x right)+3fleft( 1-x right) right]dx}=intlimits_{0}^{1}{sqrt{1-x}}dxLeftrightarrow 2intlimits_{0}^{1}{fleft( x right)dx+3intlimits_{0}^{1}{fleft( 1-x right)dx=frac{2}{3}}},,,,,,,,,left( 1 right)$
Đặt $t = 1 – x Leftrightarrow dx = – dtleft{ begin{array}{l}
x = 0 Rightarrow t = 1\
x = 1 Rightarrow t = 0
end{array} right. Rightarrow intlimits_0^1 {fleft( {1 – x} right)dx = – intlimits_1^0 {fleft( t right)dt = intlimits_0^1 {fleft( x right)dx} } } {mkern 1mu} {mkern 1mu} {mkern 1mu} {mkern 1mu} {mkern 1mu} {mkern 1mu} {mkern 1mu} {mkern 1mu} {mkern 1mu} {mkern 1mu} {mkern 1mu} {mkern 1mu} left( 2 right)$
Từ (1) và (2) suy ra $5,,x,,intlimits_{0}^{1}{fleft( x right)dx=frac{2}{3}Rightarrow intlimits_{0}^{1}{fleft( x right)dx=frac{2}{15}}}$
Câu 48: Đáp án B
Bổ đề. Cho hai số phức ${{z}_{1}}$và ${{z}_{2}}$, ta luôn có ${{left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} right|}^{2}}={{left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} right|}^{2}}=2left( {{left| {{z}_{1}} right|}^{2}}+{{left| {{z}_{2}} right|}^{2}} right),,,,,,,,,,,,,,,,left( * right)$
Chứng minh. Sử dụng công thức ${{left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} right|}^{2}}=left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} right)left( overline{{{z}_{1}}}+overline{{{z}_{2}}} right)$và $z.overline{z}={{left| z right|}^{2}}$. Khi đó
${{left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} right|}^{2}}={{left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} right|}^{2}}=left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} right)left( overline{{{z}_{1}}}+overline{{{z}_{2}}} right)+left( {{z}_{1}}-{{z}_{2}} right)left( overline{{{z}_{1}}}-overline{{{z}_{2}}} right)$
$begin{array}{l}
{z_1}.overline z + {z_1}.{overline z _2} + {overline z _1}.{z_2} + {z_2}.{overline z _2} + {z_1}.{overline z _1} – {z_1}.{overline z _2} – {overline z _1}.{z_2} + {z_2}.{overline z _2}\
= 2left( {{z_1}.{{overline z }_1} + {z_2}.{{overline z }_2}} right) = 2left( {{{left| {{z_1}} right|}^2} + {{left| {{z_2}} right|}^2}} right) to dpcm
end{array}$
Áp dụng (*), ta được ${{left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} right|}^{2}}-{{left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} right|}^{2}}=4Rightarrow {{left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} right|}^{2}}=4-{{left( sqrt{3} right)}^{2}}=1Rightarrow left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} right|=1$
Theo bất đằng thức Bunhiacopxki, ta được $P=left| {{z}_{1}} right|+left| {{z}_{2}} right|sqrt{2left( {{left| {{z}_{1}} right|}^{2}}+{{left| {{z}_{2}} right|}^{2}} right)}=2sqrt{26}$
Câu 49: Đáp án C
Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp đều $Delta ABD$
Ta có $HB=HD=frac{asqrt{3}}{3}Rightarrow SH=sqrt{S{{D}^{2}}-H{{D}^{2}}}=asqrt{frac{5}{12}}$
Lại có $dleft( H;left( SBC right) right)=HK$và $frac{1}{H{{K}^{2}}}=frac{1}{H{{B}^{2}}}+frac{1}{S{{H}^{2}}}Rightarrow HK=frac{asqrt{15}}{9}$
Khoảng cách từ $Dto left( SBC right)$là $dleft( D;left( SBC right) right)=frac{3}{2}dleft( H;left( SBC right) right)=frac{asqrt{15}}{6}$
Vậy$Delta ABD.,sin alpha =frac{dleft( D:left( SBC right) right)}{SD}=frac{asqrt{15}}{6}:frac{asqrt{3}}{2}=frac{sqrt{5}}{3}$
Câu 50: Đáp án B
Vì $Iin dRightarrow Ileft( 2t+3;t-2;-t-1 right)$mà $Iin left( P right)Rightarrow t=-1Rightarrow Ileft( 1;-3;0 right)$
Vì M là hình chiếu vuông góc của I trên $Delta Rightarrow dleft( I;Delta right)=dleft( I;left( P right) right)=IM=sqrt{42}$
Khi đó $left{ begin{array}{l}
M in left( P right)\
IM = sqrt {42}
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
5 + b + c + 2 = 0\
{4^2} + {left( {b + 3} right)^2} + {c^2} = 42
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
b + c = – 7\
{left( {b + 3} right)^2} + {c^2} = 26
end{array} right. Rightarrow left[ begin{array}{l}
left( {b;c} right) = left( { – 8;1} right)\
left( {b;c} right) = left( { – 2; – 5} right)
end{array} right.$
Vậy $Mleft( 5;-2;-5 right)$hoặc $Mleft( 5;-8;1 right)to bc=10$
