Câu 38: Đáp án D
Ta có: ${{S}_{AOB}}=intlimits_{0}^{3}{{{left( x-3 right)}^{2}}}=9$
Xét: $Delta AOC$ có ${{S}_{Delta AOC}}=dfrac{1}{2}OA.OC=3Rightarrow Cleft( dfrac{2}{3};0 right)$
$Rightarrow {{d}_{1}}:dfrac{x}{dfrac{2}{3}}+dfrac{y}{9}=1Rightarrow {{k}_{C}}=-dfrac{27}{2}$
Xét: ${{S}_{Delta AOD}}=dfrac{1}{2}OA.OD=6Rightarrow Dleft( dfrac{4}{3};0 right)$
$Rightarrow {{d}_{2}}:dfrac{x}{dfrac{4}{3}}+dfrac{y}{1}=1Rightarrow {{k}_{D}}=-dfrac{27}{4}$
Do ${k_1} > {k_2} Rightarrow left{ begin{array}{l}
{k_1} = – frac{{27}}{4}\
{k_2} = – frac{{27}}{2}
end{array} right.$
Câu 39: Đáp án A
Viết lại: $P=-dfrac{1}{3}{{log }_{3}}a+log _{3}^{2}a+3{{log }_{3}}a+1$
Đặt $t={{log }_{3}}a;,,ain left[ dfrac{1}{27};3 right]Rightarrow tin left[ -3;1 right]$
$fleft( t right)=-dfrac{{{t}^{3}}}{3}+{{t}^{2}}+3t+1$
$ Rightarrow f’left( t right) = – {t^2} + 2t + 3 = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
t = – 1\
t = 3
end{array} right.$
BBT:
$underset{tin left[ -3;1 right]}{mathop{Max}},P=10=M;,,underset{tin left[ -3;1 right]}{mathop{Min}},P=-dfrac{2}{3}=m$
$Rightarrow S=4M-3m=42$.
Câu 40: Đáp án A
${{sin }^{2}}x.tanx+co{{s}^{2}}x.cotx+2sinx.cos x=dfrac{4sqrt{3}}{3}$
Đk : $sinx.cos xne 0Leftrightarrow sin 2xne 0$
Quy đồng khử mẫu với: $operatorname{tanx}=dfrac{operatorname{s}text{inx}}{cos x};,,cot x=dfrac{cos x}{operatorname{s}text{inx}}$
$Rightarrow {{sin }^{4}}x+co{{s}^{4}}x+2{{sin }^{2}}x.co{{s}^{2}}x=dfrac{4sqrt{3}}{3}operatorname{s}text{inx}.cos x$
$ Leftrightarrow frac{{2sqrt 3 }}{3}sin 2x = left( {{{sin }^2}x + co{s^2}x} right) Leftrightarrow sin 2x = frac{{sqrt 3 }}{2} Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
2x = frac{pi }{3} + k2pi \
2x = frac{{2pi }}{3} + k’2pi
end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = frac{pi }{6} + kpi \
x = frac{pi }{3} + k’pi
end{array} right.$
$ Rightarrow left{ begin{array}{l}
{rm{x}} = frac{pi }{6}\
{rm{ x}} = – frac{{2pi }}{3}
end{array} right.$
Câu 41: Đáp án C
Dễ thấy: ${{u}_{n+1}}=2{{u}_{n}}Rightarrow $ Cấp số nhân với $q=2$
$Rightarrow {{u}_{n}}={{u}_{1}}{{.2}^{n-1}}Rightarrow {{u}_{10}}={{u}_{1}}{{.2}^{9}}$ thế vào $log {{u}_{1}}+sqrt{2+log {{u}_{1}}-2log {{u}_{10}}}=2log {{u}_{10}}$
$Rightarrow log {{u}_{1}}=1-18log 2$
$Leftrightarrow {{u}_{1}}={{10}^{1-18log 2}}$
Theo bài:${{u}_{n}}<{{5}^{100}}Leftrightarrow {{u}_{1}}{{.2}^{n-1}}<{{5}^{100}}Rightarrow nle 247,87Rightarrow {{n}_{Max}}=247$.
Câu 42: Đáp án D
Mở rộng $left( A’MN right)$ như sau:
Dễ thấy $A’B//CNRightarrow A’,,,B,,,C,,,N$ đồng phẳng.
Kéo dài: $A’N$ cắt $BC$ tại $T$.
Nối $MT$ cắt $AB,CD$ tại $H,K$
Nối $KN$ cắt $C’D’$ tại $E$
Thiết diện là tứ giác $A’HKE$
Dễ thấy C là trung điểm BT, K là trọng tâm ABDT
$Rightarrow dfrac{KC}{DC}=dfrac{1}{3};,,dfrac{HB}{AB}=dfrac{2}{3};,,dfrac{ED’}{D’C’}=dfrac{2}{3}$
${{V}_{1}}={{V}_{A’.D’EKH}}+{{V}_{A’.AHKD}}=dfrac{1}{3}a.dfrac{{{a}^{2}}}{2}+dfrac{1}{3}a.dfrac{{{a}^{2}}}{2}=dfrac{{{a}^{3}}}{3}Rightarrow {{V}_{2}}={{a}^{3}}-dfrac{{{a}^{3}}}{3}=dfrac{2{{a}^{3}}}{3}$
$Rightarrow dfrac{{{V}_{2}}}{{{V}_{1}}}=2$.
Câu 43: Đáp án D
$left{ begin{array}{l}
left| {{z_1}} right| = left| {{z_2}} right| = left| {{z_3}} right| = 1\
{z_1}^2 = {z_2}.{z_3}\
left| {{z_1} – {z_2}} right| = frac{{sqrt 6 + sqrt 2 }}{2}
end{array} right.$
Tính $M=left| {{z}_{2}}-{{z}_{3}} right|-left| {{z}_{3}}-{{z}_{1}} right|$
Cách 1: Đại số
Ta có: $left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} right|=left| {{z}_{1}} right|left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} right|=left| z_{1}^{2}-{{z}_{1}}{{z}_{2}} right|=left| {{z}_{2}}.{{z}_{3}}-{{z}_{1}}.{{z}_{2}} right|$
$=left| {{z}_{2}} right|left| {{z}_{3}}-{{z}_{1}} right|=dfrac{sqrt{6}+sqrt{2}}{2}Rightarrow left| {{z}_{3}}-{{z}_{1}} right|=dfrac{sqrt{6}+sqrt{2}}{2}$ (1)
Ta lại có: $z_{1}^{2}={{z}_{2}}.{{z}_{3}}Leftrightarrow z_{1}^{2}-z_{3}^{2}={{z}_{3}}left( {{z}_{2}}-{{z}_{3}} right)$
$Rightarrow left| z_{1}^{2}-z_{3}^{2} right|=left| {{z}_{3}} right|left| {{z}_{2}}-{{z}_{3}} right|Leftrightarrow left| {{z}_{1}}+{{z}_{3}} right|left| {{z}_{1}}-{{z}_{3}} right|=left| {{z}_{2}}-{{z}_{3}} right|$ (2)
Tính chất: $2left( {{left| {{z}_{1}} right|}^{2}}+{{left| {{z}_{3}} right|}^{2}} right)={{left| {{z}_{1}}+{{z}_{3}} right|}^{2}}+{{left| {{z}_{1}}-{{z}_{3}} right|}^{2}}$
Từ (1) $Rightarrow left| {{z}_{1}}+{{z}_{3}} right|=dfrac{sqrt{6}-sqrt{2}}{2}$ . Thế vào (2) ta được: $left| {{z}_{2}}-{{z}_{3}} right|=dfrac{left( sqrt{6}+sqrt{2} right)left( sqrt{6}-sqrt{2} right)}{4}=1$(3)
Từ (1) và (3): $M=1-dfrac{sqrt{6}+sqrt{2}}{2}=dfrac{-sqrt{6}-sqrt{2}-2}{2}$ .
Cách 2: Hình học
Ta có: $left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} right|=left| {{z}_{1}} right|left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} right|=…=left| {{z}_{2}} right|left| {{z}_{3}}-{{z}_{1}} right|Rightarrow left| {{z}_{3}}-{{z}_{1}} right|=dfrac{sqrt{6}+sqrt{2}}{2}={{M}_{1}}{{M}_{3}}$(1)
Gọi ${{M}_{1}},,,{{M}_{2}},,,{{M}_{3}}$ là 3 điểm biểu diễn ${{z}_{1}},,{{z}_{2}},,,{{z}_{3}}$
Dễ dàng có: $widehat{{{M}_{2}}{{M}_{1}}O}={{15}^{0}}$
$Rightarrow widehat{{{M}_{2}}{{M}_{1}}{{M}_{2}}}={{30}^{0}}$
$Rightarrow widehat{{{M}_{2}}O{{M}_{3}}}={{60}^{0}}$
$Rightarrow Delta O{{M}_{2}}{{M}_{3}}$ đều
${{M}_{2}}{{M}_{3}}=left| {{z}_{2}}-{{z}_{3}} right|=1$(2)
Từ (1) và (2): $M=1-dfrac{sqrt{6}+sqrt{2}}{2}=dfrac{-sqrt{6}-sqrt{2}-2}{2}$ .
Cách 3: Chuẩn hóa chọn ${{z}_{1}}=1$.
Câu 44: Đáp án D
A$d:y=5x-9$. Dễ thấy: ${{b}^{2}}-3ac<0,forall mRightarrow $ Hàm số luôn có 2 cực trị.
$ycbtRightarrow uin d$
Ta có: $uleft( m;dfrac{{{m}^{3}}}{3}-m right)in d$
$Rightarrow dfrac{1}{3}{{m}^{3}}-m=5m-9$
$Leftrightarrow dfrac{1}{3}{{m}^{3}}-6m+9=0$
Bấm casio có 3 nghiệm phân biệt.
$Rightarrow {{m}_{1}}.{{m}_{2}}.{{m}_{3}}=-dfrac{d}{a}=-27$ (Viét).
Câu 45: Đáp án C
Xét $fleft( x right)={{left( 1+x right)}^{n}}=$ (1)
$=sumlimits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}}.{{x}^{k}}Rightarrow f’left( x right)=sumlimits_{k=0}^{n}{k.C_{n}^{k}}.{{x}^{k-1}}$
Nhân $x$ vào 2 vế ta có:
$x.f’left( x right)=sumlimits_{k=0}^{n}{k.C_{n}^{k}}.{{x}^{k}}$
$Rightarrow left( x.f’left( x right) right)’=sumlimits_{k=0}^{n}{{{k}^{2}}.C_{n}^{k}}.{{x}^{k-1}}$ (2)
Từ (1) và (2) $Rightarrow {{left[ x.n{{left( x+1 right)}^{n-1}} right]}^{prime }}=sumlimits_{k=0}^{n}{{{k}^{2}}.C_{n}^{k}}.{{x}^{k-1}}$
$Leftrightarrow n{{left( x+1 right)}^{n-1}}+nleft( n-1 right)x{{left( x+1 right)}^{n-2}}=sumlimits_{k=0}^{n}{{{k}^{2}}.C_{n}^{k}}.{{x}^{k-1}}$
Cho $left{ begin{array}{l}
x = 2\
n = 2018
end{array} right.$ ta được:
${{2018.3}^{2017}}+{{2.2018.2017.3}^{2016}}=sumlimits_{k=0}^{2018}{{{k}^{2}}.C_{2018}^{k}}{{.2}^{k-1}}$
Theo bài:
${{2018.3}^{2016}}left( 3+2.2017 right)={{2018.3}^{a}}left( 2b+1 right)$
Đồng nhất thức: ${{2018.3}^{2016}}left( 2.2018+1 right)={{2018.3}^{a}}left( 2b+1 right)$
$ Rightarrow left{ begin{array}{l}
a = 2016\
b = 2018
end{array} right. Rightarrow a + b = 4034$
Câu 46: Đáp án B
$dleft( MN;SC right)=?$
Cách 1: Kẻ $Cx//MN$
$Rightarrow dleft( MN;SC right)=dleft( MN;left( SCx right) right)$
$=dleft( I;left( SCx right) right)=dfrac{IC}{HC}.dleft( H;left( SCx right) right)$ $left( dfrac{IC}{HC}=K right)$ (1)
Ta có: $dleft( H;left( SCx right) right)=HK$
Ta có: $MH=HP=dfrac{4a}{5}$
$NH=dfrac{6a}{5}$.
$Rightarrow IH=dfrac{12asqrt{13}}{65}$
$HC=dfrac{2asqrt{13}}{5}$
$Rightarrow K=dfrac{IC}{HC}=dfrac{19}{13}$
Từ (1) $Rightarrow dleft( MN;SC right)=dfrac{19}{13}.HK=dfrac{19sqrt{2}a}{13}$.
Câu 47: Đáp án C
Bài giao hai mặt cầu:
Gọi $Mleft( x,y,z right)$ theo bài: $M{{A}^{2}}+overrightarrow{MO}.overrightarrow{MB}=16$
$Rightarrow {{left( x+2 right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{left( z+2sqrt{2} right)}^{2}}+xleft( x+4 right)+yleft( y+4 right)+{{z}^{2}}=16$
$Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+4x+2y+2sqrt{2}z-2=0left( S’ right)$
Giao tuyến của $left( S right)$ và $left( S’ right)$ là nghiệm của hệ phương trình:
$left{ begin{array}{l}
left( S right):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x + 4y + 1 = 0,,Ileft( { – 1; – 2;0} right)\
left( {S’} right):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x + 2y + 2sqrt 2 z – 2 = 0
end{array} right.$
$Rightarrow 2x-2y+2sqrt{2}z-1=0left( P right)$
Ta có: $dleft( I;left( P right) right)=IH=dfrac{1}{4}$
$Rightarrow r=sqrt{I{{M}^{2}}-I{{H}^{2}}}=sqrt{{{R}_{left( S right)}}^{2}-dfrac{1}{16}}=dfrac{3sqrt{7}}{4}$.
Câu 48: Đáp án C
$left( S right):{{left( x-1 right)}^{2}}+{{left( y+2 right)}^{2}}+{{left( z-3 right)}^{2}}=27Rightarrow Ileft( 1;-2;3 right);R=3sqrt{3}$
$Aleft( 0;0;-4 right),,,Bleft( 2;0;0 right);,,left( alpha right):ax+by-z+c=0$
Ta có: $A,,,B in left( alpha right) Rightarrow left{ begin{array}{l}
a = 2\
c = – 4
end{array} right. Rightarrow left( alpha right):2x + by – z – 4 = 0$
Ta có: ${{V}_{nograve{u}n}}=dfrac{1}{3}pi .sqrt{27-{{r}^{2}}}.{{r}^{2}}$
Xét: $T=sqrt{27-{{r}^{2}}}.{{r}^{2}}Rightarrow {{T}^{2}}=left( 27-{{r}^{2}} right).{{r}^{4}}$
$=4.left( 27-{{r}^{2}} right).dfrac{{{r}^{2}}}{2}.dfrac{{{r}^{2}}}{2}overset{AM-GM}{mathop{le }},dfrac{4.{{left( 27-{{r}^{2}}+{{r}^{2}} right)}^{3}}}{27}=4$
Dấu ‘=’ xảy ra: $27-{{r}^{2}}=dfrac{{{r}^{2}}}{2}Rightarrow r=3sqrt{2}$
$Rightarrow h=sqrt{27-{{r}^{2}}}=3$
Ta có: $h=dleft( I;alpha right)=3Rightarrow b=2$
Vậy $left{ begin{array}{l}
a = 2\
b = 2\
c = – 4
end{array} right.$
Câu 49: Đáp án A
$gleft( x right)=2fleft( x right)+2{{x}^{3}}-4x-3m-6sqrt{5}$
Để $gleft( x right)le 0,,forall xin left[ -sqrt{5};sqrt{5} right]$
$Leftrightarrow underset{xin left[ -sqrt{5};sqrt{5} right]}{mathop{Max}},,gleft( x right)le 0$
Xét $g’left( x right)=2f’left( x right)+6{{x}^{2}}-4$
$g’left( x right)=0Leftrightarrow f’left( x right)=2-3{{x}^{2}}Rightarrow $ Vẽ $left( P right):y=2-3{{x}^{2}}$
BBT
$Leftrightarrow underset{xin left[ -sqrt{5};sqrt{5} right]}{mathop{Max}},,gleft( x right)=gleft( sqrt{5} right)=2fleft( sqrt{5} right)-3m$
$Rightarrow 2fleft( sqrt{5} right)-3mle 0Leftrightarrow mge frac{2}{3}fleft( sqrt{5} right)$
Câu 50: Đáp án A
Ta có hình vẽ sau:
Mở rộng $left( ABI right)$ thành $left( ABCD right)$
Gọi $E,F$ là hình chiếu $A,,,B$ xuống $left( O right)$
Ta có: ${{S}_{ABCD}}=dfrac{{{S}_{EFCD}}}{cosvarphi }$ (1)
Với $cosvarphi =cosleft( left( ABI right);left( O right) right)=dfrac{3}{5}$
Phương trình đường tròn $left( O right)$
${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=144$
Ta có:
${{S}_{EFCD}}=4intlimits_{0}^{6}{sqrt{144-{{x}^{2}}}}dx$
Từ (1) ta có: ${{S}_{ABCD}}=120sqrt{3}+80pi $.
