Lời giải đề 16 -trang 2

Câu IV.1: 

Ta có $widehat{MAI}=widehat{MEI}={{90}^{0}}$. Suy ra $widehat{MAI}+widehat{MEI}={{180}^{0}}$. Vậy AMEI nội tiếp. 

Câu IV.2: 

Ta có $widehat{EAI}=widehat{EBN}$$cùngphụvới\$widehatEBA\$$

mà $widehat{AEI}=widehat{BEN}$$cùngphụvới\$widehatIEB\$$. Suy ra $Delta IAEsim Delta NBE$.

$Rightarrow dfrac{IA}{IE}=dfrac{NB}{NE}Rightarrow IA.NE=IE.NB$ $Rightarrow dfrac{IB}{3}.NE=IE.NB$$Rightarrow IB.NE=3IE.NB$$đpcm$.

Câu IV.3: 

Do tứ giác AMEI nội tiếp nên $widehat{AMI}=widehat{AEI}$         $1$.

Tương tự ta có tứ giác $BNEI$ nên $widehat{BIN}=widehat{BEN}$   $2$.

Theo trên ta có $widehat{AEI}=widehat{BEN}$                                  $3$.

Từ $1$, $2$, $3$ suy ra $widehat{AMI}=widehat{BIN}$                        $4$.

Do tam giác $AMI$ và $BIN$ vuông tại $A$ và $B$, suy ra  $Delta AMIsim Delta BIN$.

Suy ra: $dfrac{AM}{BI}=dfrac{AI}{BN}Rightarrow AM.BN=AI.BI$ không đổi.

Từ $4$ ta có: $widehat{BIN}+widehat{AIM}=widehat{AMI}+widehat{AIM}={{90}^{0}}$$Rightarrow widehat{MIN}={{90}^{0}}$ hay $Delta MNI$ vuông tại $I$. Khi đó: ${{S}_{Delta MNI}}=dfrac{1}{2}IM.IN=dfrac{1}{2}sqrt{A{{M}^{2}}+A{{I}^{2}}}.sqrt{B{{N}^{2}}+B{{I}^{2}}}$

$ge dfrac{1}{2}sqrt{2AM.AI}.sqrt{2BN.BI}=sqrt{AM.BN.AI.BI}=AI.BI=dfrac{R}{2}.dfrac{3R}{2}=frac{3{{R}^{2}}}{4}$

Dấu “=” xảy ra khi $AM=AI,BN=BI$. Vậy ${{S}_{Delta MNI}}$ đạt GTNN  bằng $dfrac{3{{R}^{2}}}{4}$

Câu V. 

Áp dụng BĐT Cauchy ta có: (left{ begin{align}   & 1=a+b+cge 3sqrt$$3$${abc}>0 \  & ab+bc+cage 3sqrt$$3$${{{left$abcright$}^{2}}}>0 \ end{align} right.Rightarrow ab+bc+cage 9abc>0Rightarrow dfrac{1}{abc}ge frac{9}{ab+bc+ca})

Khi đó: $dfrac{1}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}+dfrac{1}{abc}ge dfrac{1}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}+dfrac{9}{ab+bc+ca}=$$=dfrac{1}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}+dfrac{1}{ab+bc+ca}+dfrac{1}{ab+bc+ca}+dfrac{7}{ab+bc+ca} ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,left$1right$$

Áp dụng bất đẳng thức $dfrac{1}{x}+dfrac{1}{y}+dfrac{1}{z}ge dfrac{9}{x+y+z}$ với mọi $x,y,z>0$ ta được  $dfrac{1}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}+dfrac{1}{ab+bc+ca}+dfrac{1}{ab+bc+ca}ge dfrac{9}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+2left$ab+bc+caright$}$$=dfrac{9}{{{left$a+b+cright$}^{2}}}=9 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,left$2right$$

Lại có $1={{left$a+b+cright$}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+2left$ab+bc+caright$ge 3left$ab+bc+caright$ ,,,,left$3right$$

Thay $left$2right$,left$3right$$ vào $left$1right$$ ta được $frac{1}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}+frac{1}{abc}ge 9+7.3=30$.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=frac{1}{3}$.

———— Hết ————