|
Câu 4 |
Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB vuông góc với dây cung MN tại H (H nằm giữa O và B). Trên tia MN lấy điểm C nằm ngoài đường tròn (O; R) sao cho đoạn thẳng AC cắt đường tròn (O; R) tại điểm K (K khác A), hai dây MN và BK cắt nhau ở E. |
3,5đ |
|
|
|
|
0,25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
a) Chứng minh rằng tứ giác AHEK là tứ giác nội tiếp. |
|
|
|
|
Ta có : $widehat{AHE}={{90}^{0}}$ |
0,25 |
|
|
$widehat{AKB}={{90}^{0}}$ |
0,25 |
|
|
|
$Rightarrow widehat{AHE}+widehat{AKB}={{180}^{0}}$ (1) |
0,25 |
|
|
|
Hai góc $widehat{AHE},widehat{AKB}$ đối nhau (2) |
0,25 |
|
|
|
Từ (1), (2) ta có tứ giác AHEK nội tiếp đường tròn đường kính AE. |
0,25 |
|
|
|
|
b) Chứng minh: CA.CK = CE.CH. |
|
|
|
|
Do tứ giác AHEK nội tiếp nên $widehat{HAK}=widehat{KEN}$ |
0,25 |
|
|
$Delta CKEbacksim Delta CHA$ vì $widehat{C}$ chung và $widehat{HAK}=widehat{KEN}$ $left( widehat{AHC}=widehat{EKC}={{90}^{0}} right)$ |
0,25 |
|
|
|
nên $dfrac{CK}{CH}text{=}dfrac{text{CE}}{text{CA}}Leftrightarrow CK.CA=CH.Ctext{E}$ |
0,25 |
|
|
|
|
c) Qua điểm N, kẻ đường thẳng (d) vuông góc với AC, (d) cắt tia MK tại F. Chứng minh tam giác $NFK$cân. |
|
|
|
|
Do KB // FN nên $widehat{EKN}=widehat{KNF},widehat{MKB}=widehat{KFN}$ (3) |
0,25 |
|
|
mà $widehat{MKB}=widehat{EKN}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung bằng nhau) (4) |
0,25 |
|
|
|
(3), (4) $Rightarrow widehat{KNF}=widehat{KFN}$ nên tam giác KFN cân tại K. |
0,25 |
|
|
|
|
d) Khi KE = KC. Chứng minh rằng: OK // MN. |
|
|
|
|
Ta có $widehat{AKB}={{90}^{0}}Rightarrow widehat{BKC}={{90}^{0}}Rightarrow Delta KEC$ vuông tại K. mà KE = KC nên tam giác KEC vuông cân tại K $Rightarrow widehat{KEC}={{45}^{0}}$ $widehat{OAK}=widehat{OKA}=widehat{KEC}={{45}^{0}}Rightarrow widehat{AOK}={{90}^{0}}$ hay $text{O}Kbot AB$ |
0,25 |
|
|
mà $MNbot AB$ nên OK //MN |
0,25 |
|
—————-HẾT—————
