Câu 30. Chọn B.
Vì $G$ là trọng tâm tam giác $SAC$ nên $AG$ cắt $SC$ tại trung điểm $M$ của $SC$, tương tự $BG$ cắt $SD$ tại trung điểm $N$ của $SD$.
Gọi $O$ là tâm của hình vuông $ABCD$ và $I$ là trung điểm của $AB$. Suy ra góc giữa mặt bên $left
Suy ra ${{V}_{S.ABCD}}=frac{1}{3}{{S}_{ABCD}}.SO=frac{1}{3}{{a}^{2}}cdot frac{asqrt{3}}{2}=frac{{{a}^{3}}sqrt{3}}{6}$.
Mặt khác ${{V}_{S.ABCD}}=2{{V}_{S.ABC}}$, ta lại có $frac{{{V}_{S.ABM}}}{{{V}_{S.ABC}}}=frac{SA}{SA}cdot frac{SB}{SB}cdot frac{SM}{SC}=frac{1}{2}$ $Rightarrow {{V}_{S.ABM}}=frac{1}{2}.{{V}_{S.ABC}}$.
$frac{{{V}_{S.AMN}}}{{{V}_{S.ACD}}}=frac{SA}{SA}cdot frac{SN}{SD}cdot frac{SM}{SC}=frac{1}{2}cdot frac{1}{2}=frac{1}{4}$ $Rightarrow {{V}_{S.AMN}}=frac{1}{4}.{{V}_{S.ACD}}$.
Vậy ${{V}_{S.ABMN}}=frac{3}{4}{{V}_{S.ABCD}}=frac{3}{4}frac{{{a}^{3}}sqrt{3}}{6}=frac{{{a}^{3}}sqrt{3}}{8}$.
Câu 31. Chọn B.
Xét phương trình hoành độ giao điểm: ${x^2} – 2x = 0$$ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = 0\
x = 2
end{array} right.$.
Khi quay $left
y = {x^2}\
y = 2x\
x = 0\
x = 2
end{array} right.$.
Do đó thể tích của khối tròn xoay là: $V=pi intlimits_{0}^{2}{left| {{left
Câu 32. Chọn A.
Gọi $H$ là trọng tâm tam giác $BCD$ và $G$ là tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện$ABCD$.
Khi đó bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện$ABCD$ là:
$r=dleft
Ta có: ${{V}_{G.BCD}}=frac{1}{3}.{{S}_{BCD}}.dleft
Mà ${{V}_{G.BCD}}$$={{V}_{G.ABC}}$$={{V}_{G.ABD}}$$={{V}_{G.ACD}}$
Mặt khác ${{V}_{G.BCD}}+{{V}_{G.ABC}}+{{V}_{G.ABD}}+{{V}_{G.ACD}}={{V}_{ABCD}}$$Rightarrow {{V}_{G.BCD}}=frac{1}{4}{{V}_{ABCD}}$.
$BH=frac{asqrt{3}}{3}$; $AH=sqrt{A{{B}^{2}}-B{{H}^{2}}}=frac{asqrt{6}}{3}$.
${{V}_{ABCD}}=frac{1}{3}.frac{{{a}^{2}}sqrt{3}}{4}.frac{asqrt{6}}{3}=frac{{{a}^{3}}sqrt{2}}{12}$$Rightarrow {{V}_{G.BCD}}=frac{1}{4} {{V}_{ABCD}}=frac{{{a}^{3}}sqrt{2}}{48}$.
$Rightarrow r=dleft
Vậy thể tích khối cầu nội tiếp tứ diện là: $V=frac{4}{3}pi {{r}^{3}}=frac{{{a}^{3}}pi sqrt{6}}{216}$.
Câu 33. Chọn D.
Điều kiện $x>0$. Đặt $t=sqrt{log _{3}^{2}x+1}ge 1$, ta được phương trình ${{t}^{2}}+t-2m-2=0,,,,,left
Ta có $xin left
Phương trình đã cho có nghiệm thuộc $xin left
Đặt $fleft
Hàm số $fleft
Phương trình ${{t}^{2}}+t=2m+2$ $Leftrightarrow $ $fleft
$ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
fleft
2m + 2 le fleft
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
2 le 2m + 2\
2m + 2 le 6
end{array} right. Leftrightarrow 0 le m le 2$
Câu 34. Chọn B.
Điều kiện $left{ begin{array}{l}
x > 2\
x ne 4\
x in Z
end{array} right.$. Phương trình đã cho tương đương với:
$2{{log }_{3}}left
$ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
left{ begin{array}{l}
left
x > 4
end{array} right.\
left{ begin{array}{l}
left
2 < x < 4
end{array} right.
end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
left{ begin{array}{l}
{x^2} – 6x + 7 = 0\
x > 4
end{array} right.\
left{ begin{array}{l}
{x^2} – 6x + 9 = 0\
2 < x < 4
end{array} right.
end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
left{ begin{array}{l}
x = 3 pm sqrt 2 \
x > 4
end{array} right.\
left{ begin{array}{l}
x = 3\
2 < x < 4
end{array} right.
end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = 3 + sqrt 2 \
x = 3
end{array} right.$
Do $xin mathbb{Z}$ nên $x=3$.
Vậy tổng số tiền mà An để dành được sau $1$ tuần
Câu 35. Chọn D.
Gọi $H$ là giao điểm của $d$ và $Delta $, khi đó giá của $overrightarrow{MH}$ vuông góc với đường thẳng $Delta $.
$Hleft
Ta có $overrightarrow{MH}.overrightarrow{{{u}_{Delta }}}=0Leftrightarrow 2left
$overrightarrow{MH}=left
Vậy vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$ là $overrightarrow{u}=left
Câu 36. Chọn A.
Ta có $widehat{left
Ta giác $ABC$ đều cạnh $a$ nên $BG=frac{asqrt{3}}{3}$, $DB=asqrt{3}$, $DG=2BG=frac{2asqrt{3}}{3}$.
Tam giác ${A}’DG$ vuông cân tại $G$ nên ${A}’G=DG=frac{2asqrt{3}}{3}$.
${{V}_{ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}’}}={{S}_{ABCD}}.AG=frac{1}{2}a.asqrt{3}.frac{2asqrt{3}}{3}={{a}^{3}}$.
Câu 37. Chọn C.
Ta có: $underset{xto {{1}^{+}}}{mathop{lim }},y=+infty $$Rightarrow x=1$ là tiệm cận đứng; $underset{xto +infty }{mathop{lim }},y=2$$Rightarrow y=2$ là tiệm cận ngang.
$Min left
Khoảng cách từ $M$ đến tiệm cận đứng: ${{d}_{1}}=frac{left| a-1 right|}{sqrt{1}}=left| a-1 right|$,
Khoảng cách từ $M$ đến tiệm ngang ${{d}_{2}}=frac{left| 2+frac{5}{a-1}-2 right|}{sqrt{{{0}^{2}}+{{1}^{2}}}}=left| frac{5}{a-1} right|$.
Xét ${{d}_{1}}.{{d}_{2}}=left| a-1 right|.left| frac{5}{a-1} right|=left| left
Câu 38. Chọn D.
Gọi phương trình parabol $left
Ta có hệ phương trình: $left{ begin{array}{l} Vậy $left Dựa vào đồ thị, diện tích cửa parabol là: $S=intlimits_{frac{-3}{2}}^{frac{3}{2}}{left Số tiền phải trả là: $frac{9}{2}.1500000=6750000$ đồng. Câu 39. Chọn A. Ta có: $underset{xto +infty }{mathop{lim }},y=underset{xto +infty }{mathop{lim }},frac{x+sqrt{4{{x}^{2}}-3}}{2x+3}=underset{xto +infty }{mathop{lim }},frac{1+sqrt{4-frac{3}{{{x}^{2}}}}}{2+frac{3}{x}}=frac{3}{2}Rightarrow $$y=frac{3}{2}$ là đường tiệm cận ngang của đồ thị $left Với $x=1$ ta có $n=yleft Câu 40. Chọn C.
Theo giả thiết vì $SAbot left Trong tam giác vuông $SAB$ ta có: $tan alpha =frac{SA}{AB}=sqrt{3}Rightarrow alpha =60{}^circ $. Câu 41. Chọn C. TXĐ $D=mathbb{R}$. ${f}’left Lấy $fleft Ta có $fleft Suy ra đường thẳng đi qua $A$, $B$là: $y=left Theo đầu bài $left Khi đó $P=abc+ab+c$ $Leftrightarrow P=9{{c}^{2}}+10c$$Leftrightarrow P={{left Suy ra $min P=-frac{25}{9}$. Câu 42. Chọn D. Ta có $frac{1}{z}+frac{1}{w}=frac{1}{z+w}$$Rightarrow {{left
Câu 43. Chọn B. Trường hợp 1: ${{x}^{2}}+2{{y}^{2}}>1$. Đặt $sqrt{2}y=z$. Suy ra $Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{z}^{2}}>1text{ }left ${{log }_{{{x}^{2}}+2{{y}^{2}}}}left Tập hợp các điểm $Mleft
Hệ $left{ begin{array}{l} Để T đạt giá trị lớn nhất thì đường thẳng $d:,2x+frac{z}{sqrt{2}}-T=0$ tiếp xúc với đường tròn $left $Leftrightarrow dleft $Leftrightarrow frac{left| 2+frac{1}{4}-T right|}{sqrt{4+frac{1}{2}}}=frac{3}{2sqrt{2}}$ $Leftrightarrow left| T-frac{9}{4} right|=frac{9}{4}$ $ Leftrightarrow left[ begin{array}{l} Trường hợp 2: $0<{{x}^{2}}+2{{y}^{2}}<1$. ${{log }_{{{x}^{2}}+2{{y}^{2}}}}left Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức $T=2x+y$ là $max T=frac{9}{2}$ . Câu 44. Chọn D. Ta có diện tích miếng tôn là $S=pi .2500text{ }left Diện tích toàn phần của hình nón là: ${{S}_{tp}}=pi {{R}^{2}}+pi .R.l$. Thỏa mãn yêu cầu bài toán ta có: $pi {{R}^{2}}+pi .R.l=2500pi $$Leftrightarrow {{R}^{2}}+R.l=2500=A$ $Leftrightarrow l=frac{A}{R}-R$. Thể tích khối nón là: $V=frac{1}{3}pi {{R}^{2}}.h$ $Leftrightarrow V=frac{1}{3}pi {{R}^{2}}.sqrt{{{l}^{2}}-{{R}^{2}}}$$Leftrightarrow V=frac{1}{3}pi {{R}^{2}}.sqrt{{{left $Leftrightarrow V=frac{1}{3}pi {{R}^{2}}.sqrt{frac{{{A}^{2}}}{{{R}^{2}}}-2A}$$Leftrightarrow V=frac{1}{3}pi .sqrt{{{A}^{2}}.{{R}^{2}}-2A.{{R}^{4}}}$$Leftrightarrow V=frac{1}{3}pi .sqrt{frac{{{A}^{3}}}{8}-2A{{left $Leftrightarrow Vle frac{1}{3}pi .frac{A}{2}sqrt{frac{A}{2}}$. Dấu bằng xảy ra khi $R=sqrt{frac{A}{4}}=25$, vậy $V$ đạt GTLN khi $R=25$. Câu 45. Chọn D. Gọi $I$ là trung điểm của $AB$. Khi đó ta có $begin{array}{l} Do đó, $M{{A}^{4}}+M{{B}^{4}}$ đạt GTNN khi $MI$ nhỏ nhất $Leftrightarrow $ $M$ là hình chiếu vuông góc của $I$ lên $text{d}$. Điểm $Ileft $overrightarrow{IM}bot overrightarrow{{{u}_{d}}}Leftrightarrow overrightarrow{IM}.overrightarrow{{{u}_{d}}}=0Leftrightarrow t+4t+9t=0Leftrightarrow t=0$ Suy ra $Mequiv I$. Vậy ${{x}_{0}}=2$ Câu 46. Chọn A. Đặt ${{2}^{x}}={{3}^{y}}={{6}^{-z}}=t$ với $t>0.$ $ Rightarrow left{ begin{array}{l} Mặt khác: ${{log }_{6}}t=frac{1}{{{log }_{t}}6}=frac{1}{{{log }_{t}}3+{{log }_{t}}2}=frac{1}{frac{1}{{{log }_{3}}t}+frac{1}{{{log }_{2}}t}}=frac{{{log }_{3}}t.{{log }_{2}}t}{{{log }_{3}}t+{{log }_{2}}t}$. $M=xy+yz+xz={{log }_{3}}t.{{log }_{2}}t-{{log }_{3}}t.{{log }_{6}}t-{{log }_{6}}t.{{log }_{2}}t$$={{log }_{3}}t.{{log }_{2}}t-left $={{log }_{3}}t.{{log }_{2}}t-left Câu 47. Chọn C.
Gọi $Mleft Các điểm $Aleft Nhận thấy, điểm $A$ nằm trong đường tròn $left Ta có, phương trình đường thẳng $AB:x-4y+3=0$. Tọa độ giao điểm của đường thẳng $AB$ và đường tròn $left $left{ begin{array}{l} Ta có ${left Vậy $min P=sqrt{17}$ khi $z=frac{37+4sqrt{59}}{17}+frac{22+sqrt{59}}{17}i$ Câu 48. Chọn B. Ta có $overrightarrow{AB}=left Tương tự, ta có $overrightarrow{MP}=overrightarrow{QN}=left Lại có, $overrightarrow{AM}=left Câu 49. Chọn C. Ta có $y=frac{3x-1}{x-3}$$Rightarrow y=3+frac{8}{x-3}$. Đặt $left{ begin{array}{l} Gọi $Mleft Với ${{X}_{1}}<0<{{X}_{2}}$. Ta có: $M{{N}^{2}}={{left $Rightarrow M{{N}^{2}}ge 2sqrt{{{left $Rightarrow M{{N}^{2}}ge 16frac{{{left Dấu bằng xảy ra $ Leftrightarrow left{ begin{array}{l} Vậy với $M=left Cách khác: Do $M,N$ thuộc hai nhánh khác nhau nên ta có $Mleft $={{left Vậy $M{{N}_{min }}=8$ khi $left{ begin{array}{l} Câu 50. Chọn C. Điều kiện $4x+4y-4ge 0$ Ta có ${{log }_{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2}}left Miền nghiệm của bất phương trình là hình tròn Mặt khác: ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x-2y+2-m=0$$Leftrightarrow {{left Với $m=0$ $Rightarrow x=-1;,,y=1$ không thỏa mãn: ${{left Với $m>0$ thì $,left Để để tồn tại duy nhất cặp $left Trường hợp 1: $,left
Khi đó: ${{R}_{1}}+{{R}_{2}}={{I}_{1}}{{I}_{2}}$$sqrt{m}+sqrt{2}=sqrt{10}$$Leftrightarrow m={{left Trường hợp 2: $,left
Khi đó: ${{R}_{2}}-{{R}_{1}}={{I}_{1}}{{I}_{2}}$$Leftrightarrow sqrt{m}-sqrt{2}=sqrt{10}$ $Leftrightarrow m={{left Vậy $m={{left
|