Câu 30: Đáp án D
Phương pháp giải: Áp dụng phương pháp lôgarit giải phương trình mũ
Lời giải: Ta có ${{2}^{frac{1}{x}}}=3Leftrightarrow frac{1}{x}={{log }_{2}}3Leftrightarrow x=frac{1}{{{log }_{2}}3}={{log }_{3}}2$
Câu 31: Đáp án D
Phương pháp giải: Lý thuyết $Fleft( x right)$là một nguyên của hàm số $fleft( x right)Rightarrow F’left( x right)=fleft( x right)$
Lời giải:
Vì $Fleft( x right)$là một nguyên của hàm số $fleft( x right)Rightarrow F’left( x right)=fleft( x right)={{x}^{2}}Rightarrow F’left( 4 right)={{4}^{2}}=16$
Câu 32: Đáp án C
Phương pháp giải: Ta có $z=a+biRightarrow frac{1}{z}=frac{1}{a+bi}=frac{a-bi}{left( a+bi right)left( a-bi right)}=frac{a-bi}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}$
Lời giải: Ta có $z=1+iRightarrow frac{1}{z}=frac{1}{1+i}=frac{1-i}{{{1}^{2}}-{{i}^{2}}}=frac{1-i}{2}$
Câu 33: Đáp án B
Phương pháp giải: Dựa vào dấu của đạo hàm để xác định điểm cực trị, cực trị của hàm số
Lời giải:
Ta có y’ đổi dấu từ + sang – khi đi qua $x=1$. Suy ra hàm số đạt cực đại tại $x=1$.
Câu 34: Đáp án C
Phương pháp giải: Áp dụng công thức tính diện tích mặt cầu $S=4pi {{R}^{2}}$
Lời giải: Diện tích cần tính là ${{S}_{mc}}=4pi {{R}^{2}}=4pi {{2}^{2}}=16pi ,c{{m}^{2}}$
Câu 35: Đáp án B
Phương pháp giải: Mặt phẳng trung trực của AB nhận $overrightarrow{AB}$ làm vectơ chỉ phương và đi qua trung điểm AB
Lời giải: Ta có $overrightarrow{AB}=left( 1;-1;2 right)$và trung điểm M của AB là $Mleft( frac{1}{2};frac{1}{2};0 right)$
Vì $left( P right)bot AB$ và $left( P right)$đi qua M => Phương trình $left( P right)$là $x-y+2z=0$
Câu 36: Đáp án B
Phương pháp giải: Tính đạo hàm, áp dụng điều kiện để hàm số nghịch biến trên khoảng
Lời giải: Ta có $y=frac{cot ,x-2}{cot x-m}Rightarrow y’=left( cot x right)’.frac{2-m}{{{left( cot x-m right)}^{2}}}=-frac{1}{{{sin }^{2}}x}.frac{2-m}{{{left( cot x-m right)}^{2}}}$
Để hàm số nghịch biến trên khoảng $left( frac{pi }{4};frac{pi }{2} right)Leftrightarrow y'<0;forall xin left( frac{pi }{4};frac{pi }{2} right),,,,,,,,,,left( * right)$
Mà $-frac{1}{{{sin }^{2}}x}<0;forall xin left( frac{pi }{4};frac{pi }{2} right)$ suy ra $left( * right)Leftrightarrow frac{2-m}{{{left( cot x-m right)}^{2}}}>0;forall xin left( frac{pi }{4};frac{pi }{2} right)$
$ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
2 – m > 0\
m = cot x notin left( {0;1} right)
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
m < 2\
left[ begin{array}{l}
m ge 1\
m le 0
end{array} right.
end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
1 le m < 2\
m le 0
end{array} right.$
Vậy $left[ begin{array}{l}
1 le m < 2\
m le 0
end{array} right.$ là giá trị cần tìm.
Câu 37: Đáp án A
Phương pháp giải:
Để ${{i}^{n}}$là số nguyên dương thì n là số nguyên dương chia hết cho 4
Lời giải:
Xét $n=2k,$khi đó ${{i}^{n}}={{i}^{2k}}={{left( {{i}^{2}} right)}^{k}}={{left( -1 right)}^{k}}$là số nguyên dương khi k chẵn.
Kết hợp với $nin left{ 10;11;…;99 right}$suy ra $frac{k}{2}in left{ 5;frac{11}{2};…;frac{99}{2} right}$và $kin mathbb{Z}$ là số chẵn.
Với mỗi bộ số $left{ 5;frac{11}{2};…;frac{19}{2} right}to $có 2 số k thỏa mãn, $left{ 10;frac{21}{2};…;frac{29}{2} right}to $có 3 số k thỏa mãn.
Vậy có tất cả $2.5+3.4=22$số thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 38: Đáp án C
Phương pháp giải:
Áp dụng công thức tổng quát của khai triển nhị thức Newton là ${{left( a+b right)}^{n}}=sumlimits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}{{a}^{n-k}}.{{b}^{k}}.}$
Lời giải: Xét khai triển ${{left( x+frac{1}{2} right)}^{40}}={{left( frac{1}{2}+x right)}^{40}}=sumlimits_{k=0}^{40}{C_{40}^{k}.{{left( frac{1}{2} right)}^{40-k}}.{{x}^{k}}}$
Hệ số của ${{x}^{25}}$ứng với ${{x}^{k}}={{x}^{25}}Rightarrow k=25.$Vậy ${{a}_{25}}=C_{40}^{25}.{{left( frac{12}{2} right)}^{15}}=frac{1}{{{2}^{15}}}.C_{40}^{25}$
Câu 39: Đáp án D
Phương pháp giải: Công thức tính thể tích của khối tròn xoay là $V=pi intlimits_{a}^{b}{{{f}^{2}}left( x right)dx}$
Lời giải: Thể tích khối tròn xoay cần tính là $V=pi intlimits_{1}^{3}{{{left[ fleft( x right) right]}^{2}}dx}$
Câu 40: Đáp án B
Phương pháp giải:
Dựng hình, xác định góc và sử dụng hệ thức lượng trong tam giác để tính tang
Lời giải:
Vì $SAbot left( ABCD right)Rightarrow AC$là hình chiếu của SC trên $left( ABCD right)$
Suy ra $SC;left( ABCD right)=left( SC;AC right)=SCA=alpha left( {{0}^{0}};{{90}^{circ }} right)$
Tam giác SACvuông tại A, có $tan ,SCA=frac{SA}{AC}=frac{asqrt{2}}{2asqrt{2}}=frac{1}{2}$
Vậy tan góc giữa đường thẳng SCvà mặt phẳng $left( ABCD right)$là $frac{1}{2}$
Câu 41: Đáp án C
Phương pháp giải: Gọi tọa độ tâm I, vì A thuộc mặt cầu nên $IA=R$ suy ra tọa độ tâm I
Lời giải:
Vì I thuộc tia Ox $Rightarrow Ileft( a;0;0 right),,,left( a>0 right)Rightarrow overrightarrow{AI}=left( a-1;2;-3 right)Rightarrow IA=sqrt{{{left( a-1 right)}^{2}}+13}$
Mà A thuộc mặt cầu $left( S right):R=IALeftrightarrow I{{A}^{2}}=49Leftrightarrow {{left( a-1 right)}^{2}}=36Leftrightarrow a=7$
Vậy phương trình mặt cầu (S) là ${{left( x-7 right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=49$
Câu 42: Đáp án B
Phương pháp giải: Quãng đường đạo hàm ra vận tốc (ứng dụng tích phân trong vật lý)
Lời giải: Ta có $vleft( t right)=S’left( t right)=left( frac{1}{2}g{{t}^{2}} right)=gtRightarrow vleft( 4 right)=4g=39,2,m/s$
Câu 43: Đáp án C
Phương pháp giải: Lập bảng xét dấu y’ để tìm khoảng đơn điệu của hàm số
Lời giải:
Ta có $f’left( x right) = {x^2} – 5x + 4 = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = 1\
x = 4
end{array} right.$ suy ra $left[ begin{array}{l}
x in left( {1;4} right) to f’left( x right) < 0\
x in left( { – infty ;1} right) cup left( {4; + infty } right) to f’left( x right) > 0
end{array} right.$
Do đó, hàm số nghịch biến trên khoảng $left( 1;4 right)$và đồng biến trên khoảng $left( -infty ;1 right)$và $left( 4;+infty right)$
Vì $left( 2;3 right)subset left( 1;4 right)$suy ra hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $left( 2;3 right)$
Câu 44: Đáp án D
Phương pháp giải: Số phức $z=a+bi$có môđun là $left| z right|=sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}$
Lời giải: Ta có $z=-3+4iRightarrow left| z right|=sqrt{{{left( -3 right)}^{2}}+{{4}^{2}}}=5$
Câu 45: Đáp án C
Phương pháp giải: Khoảng cách từ điểm $Aleft( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} right)$đến trục Ox là $d=sqrt{y_{0}^{2}+z_{0}^{2}}$
Lời giải:
Gọi H là hình chiếu của A trên Ox $Rightarrow Hleft( -2;0;0 right)Rightarrow overrightarrow{AH}=left( 0;-3;-4 right)$
Vậy khoảng cách từ A đến trục Ox là $AH=sqrt{{{left( -3 right)}^{2}}+{{left( -4 right)}^{2}}}=5$
Câu 46: Đáp án B
Phương pháp giải:
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y=fleft( x right),y=gleft( x right)Rightarrow S=intlimits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{left| fleft( x right)-gleft( x right) right|dx}$
Lời giải:
Hoành độ giao điểm của $left( {{P}_{1}} right),left( {{P}_{2}} right)$là nghiệm phương trình: $a{{x}^{2}}-4-2a{{x}^{2}}Leftrightarrow text{a}{{text{x}}^{2}}=2Leftrightarrow x=pm sqrt{frac{2}{a}}$
Khi đó, diện tích hình phẳng cần tính là $S=intlimits_{-sqrt{frac{2}{a}}}^{sqrt{frac{2}{a}}}{left| a,{{x}^{2}}-2-4+2a{{x}^{2}} right|}dx=3intlimits_{-sqrt{frac{3}{a}}}^{sqrt{frac{3}{a}}}{left| a,{{x}^{2}}-2 right|dx}$
$=3intlimits_{-sqrt{frac{2}{a}}}^{sqrt{frac{2}{a}}}{left( 2-a,{{x}^{2}} right)}dx=3left. left( 2x-frac{a,{{x}^{3}}}{3} right) right|_{-t}^{t}=12t-2a{{t}^{3}}$với $t=sqrt{frac{2}{a}}Rightarrow 12sqrt{frac{2}{a}}-4sqrt{frac{2}{a}}=16Leftrightarrow a=frac{1}{2}$
Câu 47: Đáp án A
Phương pháp giải:
Tìm không gian mẫu khi gieo súc sắc và áp dụng quy tắc đếm tìm biến cố
Lời giải:
Tung 1 con súc sắc hai lần liên tiếp => Số phần tử của không gian mẫu là $nleft( Omega right)=6.6=36$
Gọi x, y lần lượt là số chấm xuất hiện khi tung con súc sắc trong 2 lần liên tiếp.
Theo bài ra, ta có $left{ begin{array}{l}
1 le x,y le 6\
x + 1 = y
end{array} right. Rightarrow left( {x;y} right) = left{ {left( {1;2} right),left( {2;3} right),left( {3;4} right),left( {4;5} right),left( {5;6} right)} right}$
Do đó, số kết quả thuận lợi cho biến cố là $n=5.$Vậy $P=frac{nleft( X right)}{nleft( Omega right)}=frac{5}{36}$
Câu 48: Đáp án A
Phương pháp giải:
Áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y=fleft( x right),y=0,x=a,x=b$
Lời giải:
Ta có $S={{S}_{1}}+{{S}_{2}}=intlimits_{a}^{b}{left| fleft( x right) right|dx+}intlimits_{b}^{c}{left| fleft( x right) right|dx.}$ Mà $left{ begin{array}{l}
fleft( x right) > 0,,,,khi,,x in left( {a;b} right)\
fleft( x right) < 0,,,khi,,x in left( {b;c} right)
end{array} right.$
Khi đó $S=intlimits_{a}^{b}{fleft( x right)dx+intlimits_{b}^{c}{-fleft( x right)dx=intlimits_{a}^{b}{fleft( x right)dx-intlimits_{b}^{c}{fleft( x right)dx}}}}$
Câu 49: Đáp án A
Phương pháp giải:
Hàm số đơn điệu trên đoạn nên giá trị nhỏ nhất – lớn nhất sẽ đạt tại đầu mút của đoạn
Lời giải:
Ta có $f’left( x right)=-{{x}^{2}}-1<0;forall xin left( a;b right)$suy ra $fleft( x right)$là hàm số nghịch biến trên $left[ a;b right]$
Mà $a<bRightarrow fleft( a right)>fleft( b right).$ Vậy $underset{left[ a;b right]}{mathop{min }},fleft( x right)=fleft( b right)$
Câu 50: Đáp án C
Phương pháp giải:
Dựa vào hình dáng, giao điểm với hai trục tọa độ của đồ thị hàm số để tìm hàm số
Lời giải:
Dựa vào hình vẽ, ta thấy rằng:
$bullet $ Đồ thị hàm số nằm phía trên trục Ox => Hàm số mũ $y={{a}^{x}}$
$bullet $ Hàm số nghịch biến trên $RRightarrow $Hệ số $a<1$
Vậy hàm số cần tìm là $y={{left( 0,8 right)}^{x}}$
