Đáp án
|
1-A |
2-A |
3-B |
4-B |
5-A |
6-B |
7-C |
8-C |
9-B |
10-D |
|
11-D |
12-B |
13-A |
14-B |
15-C |
16-C |
17-D |
18-C |
19-B |
20-A |
|
21-D |
22-B |
23-C |
24-D |
25-A |
26-C |
27-D |
28-C |
29-D |
30-C |
|
31-B |
32-B |
33-A |
34-A |
35-D |
36-B |
37-A |
38-A |
39-D |
40-A |
|
41-D |
42-C |
43-B |
44-C |
45-A |
46-B |
47-A |
48-C |
49-D |
50-D |
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1: Đáp án A.
Ta có: $y’=6{{x}^{2}}+18ax+12{{a}^{2}}=6left( x+a right)left( x+2a right).$ Để hàm số có cực trị thì $ane 0.$ Khi đó cực tiểu của hàm số là $x=-a$ hoặc $x=-2a.$ Xảy ra các trường hợp sau:
TH1: $left{ begin{array}{l}
– a = 1\
– 2a < 1
end{array} right. Rightarrow VN$
TH2: $left{ begin{array}{l}
– 2a = 1\
– a < 1
end{array} right. Rightarrow a = – frac{1}{2}.$
Vậy $a=-frac{1}{2}.$
Câu 2: Đáp án A.
Điều kiện: $cos5xne 0.$ Khi đó, phương trình đã cho $Leftrightarrow cos3x.frac{sin 5x}{cos5x}=sin 7x$ $Leftrightarrow cos3x.sin 5x=cos5x.sin 7x$ $Leftrightarrow frac{1}{2}left( sin 8x+sin 2x right)=frac{1}{2}left( sin 12x+sin 2x right)$ $Leftrightarrow sin 8x=sin 12x$ $ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
12x = 8x + k2pi \
12x = pi – 8x + k2pi
end{array} right..$
Câu 3: Đáp án B.
Ta có: $y’ = 3{x^2} – 6x = 3xleft( {x – 2} right) = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = 0\
x = 2
end{array} right.;$ $y”=6x-6Rightarrow y”left( 2 right)=6>0Rightarrow $ Hàm số đạt cực tiểu tại $x=2Rightarrow $ điểm cực tiểu $Aleft( 2;-2 right)$
Khoảng cách từ điểm cực tiểu đến trục tung là: $dleft( A;Oy right)=frac{left| 2 right|}{1}=2.$
Câu 4: Đáp án B.
Do $widehat{BAD}=widehat{BAA’}=widehat{BAD}={{60}^{0}}Rightarrow $ A’ABD là tứ diện đều.
Dựng $A’Hbot left( ABCD right)$ suy ra H là trọng tâm tam giác đều ABD. Ta có: $left{ begin{array}{l}
AC bot BD\
BD bot A’H
end{array} right. Rightarrow BD bot left( {AA’C’C} right)$
Dựng $OKbot AC’Rightarrow $ OK là đoạn vuông góc chung của AC’ và BD.
Dựng CE//AH $AE=4AH=4.frac{asqrt{3}}{3}$
$CE=AH=sqrt{AA{{‘}^{2}}-A{{H}^{2}}}=frac{asqrt{6}}{3}Rightarrow tan widehat{C’AH}=frac{sqrt{2}}{4}$
Do đó $OK=OAsin widehat{C’AH}=frac{asqrt{3}}{6}.$
Câu 5: Đáp án A.
Ta có: $y’=frac{-2}{{{left( x-1 right)}^{2}}}.$ Gọi $Aleft( {{x}_{0}},{{y}_{0}} right)$ là tiếp điểm, trong đó ${{x}_{0}}ne 1,{{y}_{0}}=frac{{{x}_{0}}+1}{{{x}_{0}}-1}$
Để đường thẳng $y=-2x+m$ tiếp xúc với đồ thị hàm số $y=frac{x+1}{x-1}$ thì $y’left( {{x}_{0}} right)=-2$ $ Leftrightarrow frac{{ – 2}}{{{{left( {{x_0} – 1} right)}^2}}} = – 2$ $ Leftrightarrow {left( {{x_0} – 1} right)^2} = 1 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
{x_0} = 2\
{x_0} = 0
end{array} right.$
Với ${{x}_{0}}=2Rightarrow {{x}_{0}}=3Rightarrow 3=-2.2+mRightarrow m=7$
Với ${{x}_{0}}=0Rightarrow {{y}_{0}}=-1Rightarrow -1=-2.0+mRightarrow m=-1.$
Câu 6: Đáp án B.
Gọi r và R lần lượt là bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác ABC.
Thể tích hình nón nội tiếp hình chóp là: ${{V}_{1}}=frac{1}{3}pi {{r}^{2}}h$
Thể tích hình nón ngoại tiếp hình chóp là: ${{V}_{2}}=frac{1}{3}pi {{R}^{2}}h$ $Rightarrow frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=frac{{{r}^{2}}}{{{R}^{2}}}={{left( frac{1}{2} right)}^{2}}=frac{1}{4}.$
Câu 7: Đáp án C.
Bất phương trình đã cho $Leftrightarrow left( x+2 right)left[ sqrt{{{left( x+1 right)}^{2}}+3}+1 right]>-xleft( sqrt{{{x}^{2}}+3}+1 right)$
$Leftrightarrow left( x+2 right)left[ sqrt{{{left( x+2 right)}^{2}}+3}+1 right]>xleft( sqrt{{{left( -x right)}^{2}}+3}+1 right)$ $Leftrightarrow fleft( x+2 right)>fleft( -x right)$
Ta có: $f’left( t right)=sqrt{{{t}^{2}}+3}+1+frac{{{t}^{2}}}{sqrt{{{t}^{2}}+3}}>0$ nên $fleft( t right)$ đồng biến trên $mathbb{R}.$ Do đó $left( 1 right)$$Leftrightarrow x+2>-xLeftrightarrow x>-1.$
Câu 8: Đáp án C.
Số cách lấy ngẫu nhiên 4 quả là: $C_{10}^{4}$ (cách)
Số cách lấy được 2 quả đỏ, 2 trắng là: $C_{4}^{2}.C_{7}^{2}$ (cách)
Xác suất để lấy được đúng 2 quả đỏ là: $P=frac{C_{4}^{2}.C_{7}^{2}}{C_{10}^{4}}=frac{3}{10}.$
Câu 9: Đáp án B.
Phương trình đã cho $Leftrightarrow {{6}^{x+1}}-{{36}^{x}}=5Leftrightarrow {{6.6}^{x}}-{{left( {{6}^{x}} right)}^{2}}=5Leftrightarrow {{left( {{6}^{x}} right)}^{2}}-{{6.6}^{x}}+5=0$ $ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
{6^x} = 1\
{6^x} = 5
end{array} right.$ $ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = 0\
x = {log _6}5
end{array} right..$
Câu 10: Đáp án D.
Ta có: $fleft( x right)=operatorname{sinx}+1-2si{{n}^{2}}x.$ Đặt $t=operatorname{sinx},tin left[ 0;1 right]$ $Rightarrow gleft( t right)=-2{{t}^{2}}+t+1,tin left[ 0;1 right]$
Ta có: $g’left( t right)=-4t+1=0Leftrightarrow t=frac{1}{4}.$ Mà $gleft( 0 right)=1,gleft( frac{1}{4} right)=frac{9}{8},gleft( 1 right)=0Rightarrow Maxfleft( x right)=frac{9}{8}.$
Câu 11: Đáp án D.
Gọi H là trung điểm của B’C’. Khi đó $A’Hbot left( BCC’B’ right)$
Ta có: $A’H=frac{sqrt{{{a}^{2}}+{{a}^{2}}}}{2}=frac{asqrt{2}}{2}$
Thể tích khối tứ diện A’BB’C là: $V=frac{1}{3}A’H.{{S}_{BB’C}}=frac{1}{3}.frac{asqrt{2}}{2}.frac{1}{2}2a.asqrt{2}=frac{{{a}^{3}}}{3}.$
Câu 12: Đáp án B.
Ta có $f’left( x right)={{5}^{2x+1}}ln 5,g’left( x right)=left( {{5}^{x}}+4 right)ln 5.$
Suy ra $f’left( x right) > g’left( x right) Leftrightarrow {5^{2x + 1}} > {5^x} + 4 Leftrightarrow 5{left( {{5^x}} right)^2} – {5^x} – 4 > 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
{5^x} > 1\
{5^x} < – frac{4}{5}
end{array} right. Rightarrow {5^x} > 1 Leftrightarrow x > 0.$
Câu 13: Đáp án A.
PT $Leftrightarrow -cos x+sqrt{3}operatorname{sinx}=-cos3xLeftrightarrow cos3x-cosx+sqrt{3}operatorname{sinx}=0Leftrightarrow -2sin2xsinx+sqrt{3}operatorname{sinx}=0$
$ Leftrightarrow {mathop{rm sinx}nolimits} left( { – 2sin 2x + sqrt 3 } right) = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
{mathop{rm sinx}nolimits} = 0\
sin2x = frac{{sqrt 3 }}{2}
end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = kpi \
2x = frac{{2pi }}{3} + k2pi \
2x = frac{pi }{3} + k2pi
end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = kpi \
x = frac{pi }{3} + kpi left( {k in Z} right)\
x = frac{pi }{6} + kpi
end{array} right..$
$x in left[ { – frac{{4pi }}{3};frac{pi }{2}} right) Rightarrow left[ begin{array}{l}
– frac{{4pi }}{3} le {k_1}pi < frac{pi }{2}\
– frac{{4pi }}{3} le frac{pi }{3} + {k_2}pi < frac{pi }{2}\
– frac{{4pi }}{3} le frac{pi }{6} + {k_3}pi < frac{pi }{2}
end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
– frac{4}{3} le {k_1} < frac{1}{2}\
– frac{5}{3} le {k_2} < frac{1}{6}\
– frac{3}{2} le {k_3} < frac{1}{3}
end{array} right. Rightarrow left[ begin{array}{l}
{k_1} in left{ { – 1;0} right}\
{k_2} in left{ { – 1;0} right}\
{k_3} in left{ { – 1;0} right}
end{array} right..$
Câu 14: Đáp án B.
Gọi $K=ACcap BD.$ Gọi H là hình chiếu của K lên B’D. Khi đó KH là đường vuông góc chung của 2 đường thẳng AC và B’D
Ta có: $frac{KH}{KD}=frac{BB’}{B’D}Leftrightarrow frac{KH}{frac{sqrt{2}}{2}}=frac{1}{sqrt{3}}Rightarrow KH=frac{sqrt{2}}{2}.frac{1}{sqrt{3}}=frac{sqrt{6}}{6}.$
Câu 15: Đáp án C.
Ta có: $frac{x+1}{sqrt[3]{{{x}^{2}}}-sqrt[3]{x}+1}-frac{x-1}{x-sqrt{x}}=left( sqrt[3]{x}+1 right)-left( 1+frac{1}{sqrt{x}} right)=sqrt[3]{x}-frac{1}{sqrt{x}}.$
Suy ra $P={{left( {{x}^{frac{1}{3}}}-{{x}^{-frac{1}{2}}} right)}^{10}}=sumlimits_{k=0}^{10}{C_{10}^{k}}{{left( {{x}^{frac{1}{3}}} right)}^{10-k}}{{left( -1 right)}^{k}}{{left( {{x}^{-frac{1}{2}}} right)}^{k}}=sumlimits_{k=0}^{10}{C_{10}^{k}}{{left( -1 right)}^{k}}{{x}^{frac{20-5k}{6}}}.$
Số hạng không chứa $xLeftrightarrow 20-5k=0Leftrightarrow k=4Rightarrow {{a}_{4}}=C_{10}^{4}{{left( -1 right)}^{4}}=210.$
Câu 16: Đáp án C.
Ta có: $y’ = 3{x^2} – 6x = 3xleft( {x – 2} right) Rightarrow y’ = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = 0\
x = 2
end{array} right..$
Suy ra tọa độ 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số là $Aleft( 0;2 right),Bleft( 2;-2 right)Rightarrow Ileft( 1;0 right)$ là trung điểm AB.
PT đường trung thực của AB là d’: $left( x-1 right)-2y=0Leftrightarrow x-2y-1=0.$
Điểm cần tìm là $Mleft( 1;0 right)=dcap d’.$
Câu 17: Đáp án D.
PT $Leftrightarrow a=left( {{3}^{x}}+{{3}^{-x}} right)left( {{3}^{x}}-{{3}^{-x}} right)Leftrightarrow a={{9}^{x}}-{{9}^{-x}}xrightarrow{t={{9}^{x}}}a=t-frac{1}{t}Leftrightarrow {{t}^{2}}-at-1=0$ (1).
Dễ thấy PT (1) có tích hai nghiệm bằng $-1Rightarrow left( 1 right)$ luôn có 1 nghiệm dương, suy ra PT ban đầu luôn có nghiệm duy nhất với mọi $ain mathbb{R}.$
Câu 18: Đáp án C.
Ta có $y’ = 4{x^3} – 4x Rightarrow y’ = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = 0\
x = pm 1
end{array} right..$
Suy ra tọa độ ba điểm cực trị là $Aleft( { – 1;3} right),,Bleft( {1;3} right),,Cleft( {0;4} right) Rightarrow left{ begin{array}{l}
A{C^2} = B{C^2} = 2\
A{B^2} = 4
end{array} right. Rightarrow Delta ABC$ vuông cân tại C.
Suy ra $r=frac{S}{P}=left( frac{1}{2}sqrt{2}sqrt{2} right):left( frac{sqrt{2}+sqrt{2}+2}{2} right)=sqrt{2}-1.$
Câu 19: Đáp án B.
Mỗi cạnh của tứ diện tạo thành 2 vecto thỏa mãn đề bài, suy ra có $6.2=12$ vecto.
Câu 20: Đáp án A.
Ta có $y’=3{{x}^{2}}+3sqrt{3}a.$
Hàm số có cực trị $Leftrightarrow y’=0$ có 2 nghiệm phân biệt $Leftrightarrow a<0.$
Hàm số là hàm lẻ nên đồ thị hàm số có tâm đối xứng là gốc tọa độ, do đó đường thẳng nối cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số luôn đi qua gốc tọa độ.
Câu 21: Đáp án D.
Họi H là trung điểm của AB. Khi đó $SHbot left( ABCD right)$
Thể tích khối chóp là: $V=frac{1}{3}SH.{{S}_{ABCD}}=frac{1}{3}.frac{asqrt{3}}{2}.{{a}^{2}}=frac{sqrt{3}{{a}^{3}}}{6}.$
Câu 22: Đáp án B.
Ta có $f’left( x right)={{2.3}^{{{log }_{81}}x}}.ln 3frac{1}{xln 81}=frac{{{3}^{{{log }_{81}}x}}}{2x}Rightarrow fleft( 1 right)=frac{1}{2}.$
Câu 23: Đáp án C.
Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của A lên SB và SC.
Khi đó: $left( left( SBC right);left( SAC right) right)=widehat{AED}$
Ta có: $AD=frac{a}{sqrt{2}},AE=frac{asqrt{2}}{sqrt{3}},$
$sin widehat{AED}=frac{AD}{AE}=frac{AD}{AE}=frac{frac{a}{sqrt{2}}}{frac{asqrt{2}}{sqrt{3}}}=frac{sqrt{3}}{2}$$Rightarrow widehat{AED}={{60}^{0}}.$
Câu 24: Đáp án D.
Ta có (1) $Leftrightarrow cos3x=1Leftrightarrow 3x=k2pi Leftrightarrow x=kfrac{2pi }{3}left( kin mathbb{Z} right).$
(2) $ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
2x = frac{{2pi }}{3} + k2pi \
2x = – frac{{2pi }}{3} + k2pi
end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = frac{pi }{3} + kpi \
x = – frac{pi }{3} + kpi
end{array} right.left( {k in Z} right).$
Suy ra nghiệm chung của hai phương trình là $x=pm frac{2pi }{3}+k2pi left( kin mathbb{Z} right).$
Câu 25: Đáp án A.
Ta có ${x^2} + 4x = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = 0\
x = – 4
end{array} right..$
Mặt khác $underset{xto 0}{mathop{lim }},y=underset{xto 0}{mathop{lim }},frac{sqrt{5+x}-1}{{{x}^{2}}+4x}=infty ,underset{xto -4}{mathop{lim }},y=underset{xto -4}{mathop{lim }},frac{sqrt{5+x}-1}{{{x}^{2}}+4x}=-frac{1}{8}.$
Suy ra $x=0$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.
Câu 26: Đáp án C.
Ta có ${{left( xsqrt{x}+frac{1}{sqrt[3]{x}} right)}^{n}}=sumlimits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}{{left( xsqrt{x} right)}^{n-k}}}{{left( frac{1}{sqrt[3]{x}} right)}^{k}}=sumlimits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}{{x}^{frac{9n-11k}{6}}}}.$
Suy ra tổng các hệ số của khai triển bằng $sumlimits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}=128.}$
Mặt khác ${{left( 1+1 right)}^{n}}=sumlimits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}}{{1}^{n-k}}{{.1}^{k}}=sumlimits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}}Rightarrow sumlimits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}}={{2}^{n}}=128Rightarrow n=7.$
Suy ra $frac{9n-11k}{6}=5Leftrightarrow frac{5.7-11k}{6}=5Leftrightarrow k=3Rightarrow {{a}_{3}}=C_{7}^{3}{{x}^{5}}=35{{x}^{5}}.$
Câu 27: Đáp án D.
BPT $left{ begin{array}{l}
frac{{4x + 6}}{x} > 0\
frac{{4x + 6}}{x} le 1
end{array} right. Leftrightarrow 0 < 4 + frac{6}{x} le Leftrightarrow – 4 < frac{6}{x} le – 3 Leftrightarrow – 2 le x < – frac{3}{2}.$
Câu 28: Đáp án C.
Ta có $f’left( x right)={{e}^{-3x}}left( 1-3x right)Rightarrow f’left( x right)>0Leftrightarrow 1-3x>0Leftrightarrow x<frac{1}{3}.$
Câu 29: Đáp án D.
Ta có $y = 5 Leftrightarrow {x^4} – 3{x^2} + 1 = 5 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = 2\
x = – 2
end{array} right..$
Có $y’ = 4{x^3} – 6x Rightarrow left{ begin{array}{l}
y’left( 2 right) = 20\
y’left( { – 2} right) = – 20
end{array} right..$
Suy ra PTTT thỏa mãn đề bài là $left[ begin{array}{l}
y = 20left( {x – 2} right) + 5\
y = – 20left( {x + 2} right) + 5
end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
y = 20x – 35\
y = – 20x – 35
end{array} right..$
