Câu 1: Đáp án B
Ta có $Fleft( x right)=int{fleft( x right)dx}=int{dfrac{dx}{3x+1}}=dfrac{1}{3}ln left| 3x+1 right|+C$
Mà $xin left( -infty ;-dfrac{1}{3} right)Rightarrow Fleft( x right)=dfrac{1}{3}ln left( -3x-1 right)+C$
Câu 2: Đáp án D
Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là $overrightarrow{{{u}_{d}}}=overrightarrow{{{n}_{p}}}=left( 2;-1;3 right)$
Mà đường thẳng d qua $Mleft( 1;1;2 right)$ nên phương trình $d:dfrac{x-1}{2}=dfrac{y-1}{-1}=dfrac{z-2}{3}$.
Câu 3: Đáp án B
Đáp án A. Phần ảo của số phức z là b nên A sai.
Đáp án B. Ta có $left| {{z}^{2}} right|={{left| z right|}^{2}}={{left( sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}} right)}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}$ nên B đúng.
Đáp án C. Ta có $z=a+biRightarrow bar{z}=a-biRightarrow z-bar{z}=2bi$ là số thực khi $b=0$ nên C sai.
Đáp án D. Ta có $z=a+biRightarrow bar{z}=a-biRightarrow left| z right|=left| {bar{z}} right|=sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}$ nên D sai.
Câu 4: Đáp án A
Điều kiện $x>dfrac{1}{2}$. Ta có $ln left( x-dfrac{1}{2} right).ln left( x+dfrac{1}{2} right).ln left( x+dfrac{1}{4} right).lnleft( x+dfrac{1}{8} right)=0$
$ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
ln left( {x – frac{1}{2}} right) = 0\
ln left( {x + frac{1}{2}} right) = 0\
ln left( {x + frac{1}{4}} right) = 0\
ln left( {x + frac{1}{8}} right) = 0
end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x – frac{1}{2} = 1\
x + frac{1}{2} = 1\
x + frac{1}{4} = 1\
x + frac{1}{8} = 1
end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = frac{3}{2}\
x = frac{1}{2}left( l right)\
x = frac{3}{4}\
x = frac{7}{8}
end{array} right.$ Do đó phương trình có 3 nghiệm
Câu 5: Đáp án B
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là $overrightarrow{n}=left( 1;-2;3 right)$
Câu 6: Đáp án D
Dựa vào bảng xét dấu ta thấy hàm số đổi dấu qua các điểm $x=-1,x=0,x=2,x=4$ nên hàm số có 4 điểm cực trị.
Câu 7: Đáp án B
Ta có $V=pi intlimits_{0}^{pi }{{{left( -sin x right)}^{2}}dx}=pi intlimits_{0}^{pi }{{{sin }^{2}}xdx}$
Câu 8: Đáp án A
Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra đường thẳng $y=-2018$ cắt đồ thị hàm số tại 2 điểm.
Câu 9: Đáp án C
Ta có: $left{ begin{array}{l}
{log _a}c = x\
{log _b}c = y
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
{log _c}a = frac{1}{x}\
{log _c}b = frac{1}{y}
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
a = {c^{frac{1}{x}}}\
b = {c^{frac{1}{y}}}
end{array} right.$
Do đó ${{log }_{ab}}c={{log }_{{{c}^{dfrac{1}{x}}}{{c}^{dfrac{1}{y}}}}}c={{log }_{{{c}^{dfrac{1}{x}}}{{c}^{dfrac{1}{y}}}}}x=dfrac{1}{dfrac{1}{x}+dfrac{1}{y}}=dfrac{xy}{x+y}$.
Câu 10: Đáp án B
Gọi I là trung điểm của $MNRightarrow Ileft( 1;2;3 right)$. Ta có $overrightarrow{{{n}_{P}}}=overrightarrow{MN}=left( 4;2;6 right)$
Phương trình mặt phẳng $left( P right)$ qua $Ileft( 1;2;3 right)Rightarrow left( P right):2x+y+3z-13=0$.
Câu 11: Đáp án D
Ta có ${V_{OABC}} = frac{1}{6}.OA.OB.OC = frac{1}{6}.a.2a.3a = {a^3}$
Câu 12: Đáp án B
Ta có $underset{xto -infty }{mathop{lim }},dfrac{2x-1}{sqrt{{{x}^{2}}+1}-1}=underset{xto -infty }{mathop{lim }},dfrac{2-dfrac{1}{x}}{-sqrt{1+dfrac{1}{{{x}^{2}}}-dfrac{1}{x}}}=-2$
Câu 13: Đáp án C
Bán kính của hình trụ là $r=a$, chiều cao $h=2aRightarrow {{S}_{xq}}=2pi rh=4pi {{a}^{2}}$.
Câu 14: Đáp án D
Số cách chọn 3 học sinh trong nhóm làm 3 công việc là $A_{10}^{3}$
Câu 15: Đáp án C
Hàm số nghịch biến khi ${f}’left( x right)<0Leftrightarrow x{{left( x-2 right)}^{3}}<0Leftrightarrow 0<x<2Rightarrow xin left( 0;2 right)$
Câu 16: Đáp án C
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là $x=1$, tiệm cận ngang là $y=-1;y=1$.
Câu 17: Đáp án D
Tổng số chấm bẳng 2 khi số chấm ở 2 con xúc sắc là $left( 1;1 right)$.
Tổng số chấm bẳng 3 khi số chấm ở 2 con xúc sắc là $left( 1;2 right),left( 2;1 right)$
Tổng số chấm bẳng 4 khi số chấm ở 2 con xúc sắc là $left( 1;3 right),left( 2;2 right),left( 3;1 right)$
Tổng số chấm bẳng 5 khi số chấm ở 2 con xúc sắc là $left( 1;4 right),left( 2;3 right),left( 3;2 right),left( 4;1 right)$
Do đó xác suất là $10.dfrac{1}{36}=dfrac{5}{18}$
Câu 18: Đáp án C
Kẻ $APbot Delta Rightarrow Pleft( t+2;1-2t;2t right)Rightarrow overrightarrow{AP}=left( t+3;-2t;2t-6 right)$
Ta có $overrightarrow{{{u}_{Delta }}}=left( 1;-2;2 right),APbot Delta Leftrightarrow overrightarrow{AP}.overrightarrow{{{u}_{Delta }}}=0Leftrightarrow left( t+3 right)+4t+2left( 2t-6 right)=0Leftrightarrow t=1Rightarrow Pleft( 3;-1;2 right)$
Câu 19: Đáp án D
Kẻ $BPbot ACRightarrow BPbot left( SAC right)Rightarrow widehat{left( SB;left( SAC right) right)}=widehat{BSP}$
$BP=dfrac{AB.BC}{AC}=dfrac{aasqrt{3}}{2a}=dfrac{asqrt{3}}{2}$
$SB=sqrt{S{{A}^{2}}+A{{B}^{2}}}=asqrt{3}$
$Rightarrow sin widehat{BSP}=dfrac{BP}{SB}=dfrac{1}{2}Rightarrow widehat{BSP}=30{}^circ $
Câu 20: Đáp án A
Ta có ${y}’=dfrac{1}{3}{{left( {{x}^{2}}+x+1 right)}^{dfrac{1}{3}-1}}.left( 2x+1 right)=dfrac{2x+1}{3sqrt[3]{{{left( {{x}^{2}}+x+1 right)}^{2}}}}$
Câu 21: Đáp án B
Kẻ $SHbot ABRightarrow SHbot left( ABCD right)$.
Ta có $AD//BCRightarrow ADbot left( SBC right)$
$Rightarrow dleft( AD,SC right)=dleft( A;left( SBC right) right)=2dleft( H;left( SBC right) right)=2HP.$
Trong đó $HPbot text{S}B.$
Cạnh $SH=sqrt{S{{A}^{2}}-A{{H}^{2}}}=sqrt{S{{A}^{2}}-{{left( dfrac{AB}{2} right)}^{2}}}=2a$
$Rightarrow HP=dfrac{HS.HB}{SB}=dfrac{2a.a}{asqrt{5}}Rightarrow dleft( AD;SC right)=dfrac{4a}{sqrt{5}}$.
Câu 22: Đáp án B
Ta có $I=dfrac{1}{2}.left. dfrac{{{3}^{2text{x}+1}}}{ln 3} right|_{0}^{1}=dfrac{12}{ln 3}$.
Câu 23: Đáp án C
Ta có $y’ = 2left( {{x^2} – x} right)left( {2{rm{x}} – 1} right) < 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x < 0\
frac{1}{2} < x < 1
end{array} right.$
Câu 24: Đáp án A
Ta có $y = x + frac{4}{{x + 1}} Rightarrow y’ = 1 – frac{4}{{{{left( {x + 1} right)}^2}}};,left{ begin{array}{l}
x in left( {0;2} right)\
y’ = 0
end{array} right. Leftrightarrow x = 1$
Tính $yleft( 0 right) = 4;,yleft( 2 right) = frac{{10}}{3};,yleft( 1 right) = 3 Rightarrow left{ begin{array}{l}
a = 3\
A = 4
end{array} right. Rightarrow a + A = 7.$
Câu 25: Đáp án A
Ta có $left{ begin{array}{l}
{z_1} + {z_2} = 6\
{z_1}{z_2} = 13
end{array} right. Rightarrow {z^2} – 6z + 13 = 0.$
Câu 26: Đáp án A
Ta có: $Fleft( x right) = – int {ln left( {x + 3} right)dleft( {frac{1}{x}} right) = – frac{{ln left( {x + 3} right)}}{x} + int {frac{1}{x}dleft[ {ln left( {x + 3} right)} right]} } $
$ = – frac{{ln left( {x + 3} right)}}{x} + int {frac{1}{x}.frac{1}{{x + 3}}d{rm{x}} = – frac{{ln left( {x + 3} right)}}{x} + frac{1}{3}int {left( {frac{1}{x} – frac{1}{{x + 3}}} right)d{rm{x}}} } $
$ = – frac{{ln left( {x + 3} right)}}{x} + frac{1}{3}ln left| {frac{x}{{x + 3}}} right| + C.$
Mà $Fleft( { – 2} right) + Fleft( 1 right) = 0 Rightarrow left( {frac{1}{3}ln 2 + {C_1}} right) + left( { – ln 4 + frac{1}{3}ln frac{1}{4} + {C_2}} right) = 0 Rightarrow – frac{7}{3}ln 2 + {C_1} + {C_2} = 0$
$ Rightarrow Fleft( { – 1} right) + Fleft( 2 right) = left( {ln 2 + frac{1}{3}ln frac{1}{2} + {C_1}} right) + left( { – frac{1}{2}ln 5 + frac{1}{3}ln frac{2}{5} + {C_2}} right) = frac{{10}}{3}ln 2 – frac{5}{6}ln 5.$
Câu 27: Đáp án A
Ta có $left{ begin{array}{l}
overrightarrow {AB’} = overrightarrow {AB} + overrightarrow {BB’} \
overrightarrow {BC’} = overrightarrow {BC} + overrightarrow {CC’} = overrightarrow {BC} + overrightarrow {BB’}
end{array} right.$ $ Rightarrow overrightarrow {AB’} .overrightarrow {BC’} = AB.BC.cos 120^circ + B{B’^2} = frac{3}{2}{a^2}$
$ Rightarrow cos left( {AB’;BC’} right) = frac{{left| {overrightarrow {AB’} .overrightarrow {BC’} } right|}}{{AB’.BC’}} = frac{{frac{3}{2}{a^2}}}{{sqrt {A{B^2} + B{{B’}^2}} .sqrt {B{C^2} + C{{C’}^2}} }} = frac{1}{2} Rightarrow left( {AB’;BC’} right) = 60^circ $
Câu 28: Đáp án D
Ta chọn được $fleft( x right)=-x+sqrt{{{x}^{2}}+3}$ thỏa mãn.
Thật vậy ${f}’left( x right)=-1+dfrac{x}{sqrt{{{x}^{2}}+3}}=dfrac{x-sqrt{{{x}^{2}}+3}}{sqrt{{{x}^{2}}+3}}<0,,forall xin mathbb{R}.$
$fleft( x right)=-x+sqrt{{{x}^{2}}+1}Rightarrow underset{xto -infty }{mathop{lim }},fleft( x right)=+infty .$
$fleft( x right)=-x+sqrt{{{x}^{2}}+1}=dfrac{1}{x+sqrt{{{x}^{2}}+1}}Rightarrow underset{xto +infty }{mathop{lim }},fleft( x right)=0.$
Với $fleft( x right)=-x+sqrt{{{x}^{2}}+5}$ và $gleft( x right)=dfrac{4}{x}Rightarrow x=2$ thỏa mãn $fleft( x right)=gleft( x right)-1$.
Câu 29: Đáp án A
Ta có ${{left( dfrac{1}{x}-x+2{{text{x}}^{2}} right)}^{9}}=dfrac{{{left( 1-{{x}^{2}}+2{{text{x}}^{3}} right)}^{9}}}{{{x}^{9}}}$.
Ta cần tìm hệ số của ${{x}^{12}}$ trong khai triển $P={{left( 1-{{x}^{2}}+2{{text{x}}^{3}} right)}^{9}}$.
Ta có $P = sumlimits_{k = 0}^9 {C_9^k{{left( {2{{rm{x}}^3} – {x^2}} right)}^k} Rightarrow left[ begin{array}{l}
k = 6\
k = 5\
k = 4
end{array} right.} $ thỏa mãn.
+) Với $k=6Rightarrow $ hệ số $C_{9}^{6}.{{left( -1 right)}^{6}}=84.$
+) Với $k=4Rightarrow $ hệ số $C_{9}^{4}{{.2}^{4}}=2016.$
+) Với $k=5Rightarrow C_{9}^{k}{{left( 2{{x}^{3}}-{{x}^{2}} right)}^{k}}=126{{text{x}}^{10}}{{left( 2text{x}-1 right)}^{5}}=126{{text{x}}^{10}}sumlimits_{{k}’=0}^{5}{C_{5}^{{{k}’}}.{{left( 2text{x} right)}^{{{k}’}}}.{{left( -1 right)}^{5-{k}’}}}$
${k}’=2Rightarrow $ hệ số $126.C_{5}^{2}{{.2}^{2}}.{{left( -1 right)}^{5-2}}=-5040.$
Vậy hệ số cần tìm là $84+2016-5040=-2940.$
Câu 30: Đáp án C
Chọn hệ trục như hình vẽ và cắt mặt nước theo thiết diện là tam giác vuông $PNM$. Hình chiếu vuông góc của mặt phẳng thiết diện xuống đáy là nửa đường tròn đường kính $AB$
Ta có: $Scos varphi =dfrac{1}{2}{{S}_{left( C right)}}=dfrac{1}{2}.pi {{R}^{2}}=dfrac{9}{2}pi $ với $varphi =widehat{left( MAB right);left( NAB right)}$
Lại có: $cos varphi =dfrac{R}{sqrt{{{R}^{2}}+{{h}^{2}}}}=dfrac{1}{sqrt{26}}$
Do đó $S=dfrac{9pi sqrt{26}}{2}$.
