Câu 36: Đáp án B.
Gọi I là trung điểm của SP. Theo định lý Talet:
${{d}_{{}^{1}/{}_{left( HMN right)}}}=frac{1}{2}{{d}_{{}^{S}/{}_{left( HMN right)}}}.$ Ta cần tính ${{d}_{{}^{S}/{}_{left( HMN right)}}}.$
Bước 1: Tìm ${{V}_{S.HMN}}$
Ta có: $frac{{{V}_{S.HMN}}}{{{V}_{S.HAD}}}=frac{1}{2}.frac{1}{2}=frac{1}{4};frac{{{V}_{S.HAD}}}{{{V}_{S.ABCD}}}=frac{1}{4}$
$ Rightarrow {V_{S.HMN}} = frac{1}{{16}}{V_{S.ABCD}}$. Giả sử a = 1
Dễ thấy ${{V}_{S.ABCD}}=frac{1}{3}SH.{{S}_{ABCD}}=frac{1}{3}.frac{sqrt{3}}{2}.frac{sqrt{3}}{2}=frac{1}{4}$
$Rightarrow {{V}_{S.HMN}}=frac{1}{16}.frac{1}{4}=frac{1}{64}.$
Bước 2: Tìm ${{S}_{HMN}}.$ Ta có: $overrightarrow{MH}=-frac{1}{2}overrightarrow{BS}$ và $overrightarrow{MN}=frac{1}{2}overrightarrow{BC}Rightarrow HMN=180{}^circ -SBC.$
Do đó $sin HMN=sin SBCRightarrow {{S}_{HMN}}=frac{1}{2}MH.MN.sin HMN=frac{1}{4}.{{S}_{SBC}}.$
Tam giác SBC có SB = BC = 1; $SC=sqrt{S{{H}^{2}}+H{{C}^{2}}}=sqrt{2}SH=frac{sqrt{6}}{2}Rightarrow {{S}_{SBC}}=frac{sqrt{15}}{8}.$
Do đó ${{S}_{HMN}}=frac{1}{4}.frac{sqrt{15}}{8}=frac{sqrt{15}}{32}.$
Bước 3: Sử dụng công thức: ${{d}_{{}^{S}/{}_{left( HMN right)}}}=frac{3.{{V}_{S.HMN}}}{{{S}_{HMN}}}=frac{3}{64}.frac{32}{sqrt{15}}=frac{sqrt{15}}{10}Rightarrow {{d}_{{}^{I}/{}_{left( HMN right)}}}=frac{1}{2}.frac{sqrt{15}}{10}=frac{sqrt{15}}{20}.$
Câu 37: Đáp án C.
$begin{array}{l}
intlimits_{frac{pi }{2}}^pi {frac{{cos 2x}}{{1 – cos x}}dx = intlimits_{frac{pi }{2}}^pi {frac{{2{{cos }^2}x – 2 + 1}}{{1 – cos x}}dx = } } intlimits_{frac{pi }{2}}^pi {left[ {frac{1}{{1 – cos x}} – 2left( {1 + cos x} right)} right]dx} \
= intlimits_{frac{pi }{2}}^pi {frac{{dx}}{{2{{sin }^2}frac{x}{2}}} – 2left. {left( {x + sin x} right)} right|_{frac{pi }{2}}^pi = intlimits_{frac{pi }{2}}^pi {frac{{dleft( {frac{x}{2}} right)}}{{{{sin }^2}frac{x}{2}}} – pi + 2 = left. { – cot frac{x}{2}} right|_{frac{pi }{2}}^pi – pi + 2 = 3 – pi .} }
end{array}$
Do đó $a=-1;b=3Rightarrow P=1-{{left( -1 right)}^{3}}-{{3}^{2}}=-7.$
Câu 38: Đáp án D.
Đặt $sqrt[6]{1-{{x}^{2}}}=tleft( 0le tle 1 right).$ Ta có: $y={{t}^{3}}+2{{t}^{4}};y’=8{{t}^{3}}+3{{t}^{2}}={{t}^{2}}left( 8t+3 right).$
Với $tin left[ 0;1 right];y’ge 0$ nên $yleft( t right)$ đồng biến trên $left[ 0;1 right].$ Do đó:
[left{ begin{array}{l}
M = yleft( 1 right) = 3\
m = yleft( 0 right) = 0
end{array} right..]
$Rightarrow Aleft( 3;0 right)$ thuộc đường tròn ${{left( x-3 right)}^{2}}+{{left( y-2 right)}^{2}}=4.$
Câu 39: Đáp án D.
Cách 1 (Giải theo trắc nghiệm – Tổng quát hóa – Đặc biệt hóa)
Bài toán tổng quát:
Cho $A=frac{1}{1!.left( 2n right)!}+frac{1}{2!.left( 2n-1 right)!}+frac{1}{3!.left( 2n-2 right)!}+…+frac{1}{left( n-1 right)!.left( 2n right)!}+frac{1}{n!.left( n+1 right)!}$
Giá trị của A là: A. $frac{{{2}^{2n-1}}-1}{left( 2n right)!}.$ B. $frac{{{2}^{2n-1}}}{left( 2n right)!}.$ C. $frac{{{2}^{2n}}}{left( 2n+1 right)!}.$ D. $frac{{{2}^{2n}}-1}{left( 2n+1 right)!}.$
Đặc biệt hóa: Cho n = 2, ta có: $A=frac{1}{1!.4!}+frac{1}{2!.3!}=frac{1}{8}.$
Khi n = 2 ứng với 4 đáp án A, B, C, D, ta thấy chỉ có đáp án D: $frac{{{2}^{4}}-1}{5!}=frac{1}{8}.$
Cách 2 (Làm tự luận)
Ta có: $A=sumlimits_{k=1}^{1009}{frac{1}{k!.left( 2019-k right)!}Rightarrow 2019!.A=}sumlimits_{k=1}^{1009}{frac{2019!}{k!.left( 2019-k right)!}=}sumlimits_{k=1}^{1009}{C_{2019}^{k}}$
Chú ý rằng: $C_{2019}^{k}=C_{2019}^{2019-k}$ nên $sumlimits_{k=1}^{1009}{C_{2019}^{k}=}sumlimits_{k=1010}^{2018}{C_{2019}^{k}}$
Ngoài ra ${{left( 1+1 right)}^{2019}}=sumlimits_{k=0}^{2019}{C_{2019}^{k}}={{2}^{2019}}$
$Rightarrow sumlimits_{k=1}^{1009}{C_{2019}^{k}}=frac{1}{2}sumlimits_{k=1}^{2018}{C_{2019}^{k}}=frac{1}{2}left( sumlimits_{k=0}^{2019}{C_{2019}^{k}-2} right)=frac{1}{2}left( {{2}^{2019}}-2 right)={{2}^{2018}}-1.$ Do đó $A=frac{{{2}^{2018}}-1}{2019!}.$
Câu 40: Đáp án A.
(P) đi qua A và G nên (P) đi qua trung điểm của BC là điểm $Mleft( -frac{3}{2};frac{1}{2};-2 right).$
Ta có: $overrightarrow{AM}=left( -frac{5}{2};frac{5}{2};-5 right)$ cùng phương với véc tơ $left( -1;1;-2 right)$
Mặt phằng (ABC) có vác tơ pháp tuyến:
$overrightarrow{{{n}_{1}}}=left[ overrightarrow{AB};overrightarrow{AC} right]=left[ left( -5;2;-4 right);left( 0;3;-6 right) right]=left( 0;-30;-15 right)$ cùng phương với véc tơ $left( 0;2;1 right).$
Vì (P) chứa AM và vuông góc với (ABC) nên (P) có véc tơ chỉ phương:
$overrightarrow{{{n}_{(P)}}}=left[ left( -1;1;-2 right);left( 0;2;1 right) right]=left( -5;-1;2 right).$
Ngoài ra (P) qua $Aleft( 1;-2;3 right)$ nên phương trình (P):
$-5left( x-1 right)-1left( y+2 right)+2left( z-3 right)=0Leftrightarrow 5x+y-2z+3=0$
Câu 41: Đáp án A.
Lưu ý: Nếu c, d lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=fleft( x right)$ trên (m;n) thì giá trị lớn nhất của hàm số $y=left| fleft( x right) right|$ trên (m;n) là $Maxleft{ left| a right|;left| b right| right}.$
Xét hàm số $fleft( x right)=frac{2}{3}{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+1.$ Ta có $f’left( x right)=2{{x}^{3}}-4x=2xleft( x-2 right).$ Ta có bảng biến thiên của hàm số trên $left[ -frac{8}{3};3 right]$ như sau:
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy $Mintext{ }fleft( x right)=-frac{5}{3}$ và $Maxtext{ }fleft( x right)=1$ trên $left( -frac{8}{3};3 right).$
Do đó $M=Maxleft{ left| -frac{5}{3} right|;left| 1 right| right}=frac{5}{3}Rightarrow a=5;b=3.$ Do đó $S=a+{{b}^{3}}=5+{{3}^{3}}=32.$
Câu 42: Đáp án D
Phương pháp : Áp dụng phương pháp xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp.
Cách giải : Ta có : $left{ begin{array}{l}
left( P right) bot left( Q right)\
left( P right) cap left( Q right) = Delta Rightarrow AC bot left( Q right)\
left( P right) supset AC bot Delta
end{array} right.$
Gọi I là trung điểm của AD, do $Delta BD$vuông tại nên M là tâm đường tròn ngoại tiếp $Delta BD$.
Gọi N là trung điểm của AC.
Qua M kẻ đường thẳng d song song với AC $Rightarrow dbot left( ABD right)$
Qua N kẻ đường thẳng d’ song song với AD $Rightarrow d’bot AC$
Gọi $I=dcap d’Rightarrow $ là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có bán kính $text{R}=IA$
Ta có: $AM=dfrac{1}{2}AD=dfrac{1}{2}sqrt{{{a}^{2}}+{{a}^{2}}}=dfrac{asqrt{2}}{2};AN=dfrac{a}{2}Rightarrow AI=sqrt{dfrac{{{a}^{2}}}{2}+dfrac{{{a}^{2}}}{4}}=dfrac{asqrt{3}}{2}$
Câu 43: Đáp án B
Phương pháp : Chia hai trường hợp :
TH1 : Học sinh TWO làm được 2 trong số 3 bài trong đề thi.
TH2 : Học sinh TWO làm được cả 3 bài trong đề thi.
Cách giải : $left| Omega right|=C_{2n}^{3}$
TH1 : Học sinh TWO làm được 2 trong số 3 bài trong đề thi. Có $C_{n}^{2}.C_{n}^{1}$ cách.
TH2 : Học sinh TWO làm được cả 3 bài trong đề thi. Có $C_{n}^{3}$cách.
Gọi A là biến cố học sinh TWO không phải thi lại $Rightarrow left| A right|=C_{n}^{2}.C_{n}^{1}+C_{n}^{3}Rightarrow Pleft( A right)=dfrac{left| A right|}{left| Omega right|}=dfrac{C_{n}^{2}.C_{n}^{1}+C_{n}^{3}}{C_{2n}^{3}}$
Đến đây chọn một giá trị bất kì của n rồi thay vào là nhanh nhất, chọn$n=10$ , ta tính được $Pleft( A right)=dfrac{1}{2}$
Câu 44: Đáp án A
Phương pháp:
+) Viết phương trình mặt phẳng $left( ABC right)$ở dạng đoạn chắn, thay tọa độ điểm M vào pt mặt phẳng $left( ABC right)$.
+) $left( ABC right)$tiếp xúc với mặt cầu $left( S right)$tâm I bán kính R$Leftrightarrow dleft( I;left( ABC right) right)=R$
Cách giải:
$begin{array}{l}
left( {ABC} right):frac{x}{a} + frac{y}{b} + frac{z}{c} = 1\
Mleft( {frac{1}{7};frac{2}{7};frac{3}{7}} right) in left( {ABC} right) Rightarrow frac{1}{{7a}} + frac{2}{{7b}} + frac{3}{{7c}} = 1 Leftrightarrow frac{1}{a} + frac{2}{b} + frac{3}{c} = 7
end{array}$
$left( ABC right)$tiếp xúc với mặt cầu $left( S right)$có tâm $Ileft( 1;2;3 right)$và bán kính$R=sqrt{dfrac{72}{7}}$
$begin{array}{l}
Rightarrow dleft( {I;left( {ABC} right)} right) = R Leftrightarrow frac{{left| {frac{1}{a} + frac{2}{b} + frac{3}{c} – 1} right|}}{{sqrt {frac{1}{{{a^2}}} + frac{1}{{{b^2}}} + frac{1}{{{c^2}}}} }} = sqrt {frac{{72}}{7}} \
Leftrightarrow frac{6}{{sqrt {frac{1}{{{a^2}}} + frac{1}{{{b^2}}} + frac{1}{{{c^2}}}} }} = sqrt {frac{{72}}{7}} Rightarrow sqrt {frac{1}{{{a^2}}} + frac{1}{{{b^2}}} + frac{1}{{{c^2}}}} = frac{{sqrt {14} }}{2} Rightarrow frac{1}{{{a^2}}} + frac{1}{{{b^2}}} + frac{1}{{{c^2}}} = frac{7}{2}
end{array}$
Câu 45: Đáp án B
Phương pháp: Sử dụng công thức ứng dụng của tích phân để tính diện tích hình phẳng.
Cách giải: Xét phương trình hoành độ giao điểm $operatorname{s}text{inx}=cos xLeftrightarrow tan ,x=1Leftrightarrow x=dfrac{pi }{4}+kpi $
TH1: $a=dfrac{pi }{4}Rightarrow S=left| intlimits_{0}^{dfrac{pi }{4}}{left( operatorname{s}text{inx}-cos x right)dx} right|=sqrt{2}-1Rightarrow $ không thỏa mãn
TH2: $a=dfrac{pi }{2}Rightarrow S=left| intlimits_{0}^{dfrac{pi }{4}}{left( operatorname{s}text{inx}-cos x right)dx} right|+left| intlimits_{dfrac{pi }{4}}^{dfrac{pi }{2}}{left( operatorname{s}text{inx}-cos x right)} right|=sqrt{2}-1+sqrt{2}-1=2sqrt{2}-2Rightarrow $không thỏa mãn
TH3: $ain left( dfrac{pi }{4};dfrac{pi }{2} right)$
$begin{array}{l}
Rightarrow S = left| {intlimits_0^{frac{pi }{4}} {left( {{mathop{rm s}nolimits} {rm{inx}} – cos x} right)dx} } right| + left| {intlimits_{frac{pi }{4}}^a {left( {{mathop{rm s}nolimits} {rm{inx}} – cos x} right)} } right| = sqrt 2 – 1 + left| {left. {left( { – cos x – {mathop{rm s}nolimits} {rm{inx}}} right)} right|_{frac{pi }{4}}^a} right|\
Rightarrow S = sqrt 2 – 1 + left| { – cos x – sin a + frac{{sqrt 2 }}{2} + frac{{sqrt 2 }}{2}} right| = frac{1}{2}left( { – 3 + 4sqrt 2 – sqrt 3 } right)\
Leftrightarrow left| { – cos a – {mathop{rm s}nolimits} {rm{ina + }}sqrt 2 } right| = – frac{1}{2} + sqrt 2 – frac{{sqrt 3 }}{2} Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
– cos a – sin a + sqrt 2 = – frac{1}{2} + sqrt 2 – frac{{sqrt 3 }}{2}\
– cos a – sin a + sqrt 2 = frac{1}{2} – sqrt 2 + frac{{sqrt 3 }}{2}
end{array} right.\
Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
cos a + sin a = frac{1}{2} + frac{{sqrt 3 }}{2}\
cos a + sin a = – frac{1}{2} – frac{{sqrt 3 }}{2} + 2sqrt 2 left( {ktm} right){mkern 1mu} left( {left( {sin a + cos a} right) in left[ { – sqrt 2 ;sqrt 2 } right]} right)
end{array} right.\
Rightarrow a = frac{pi }{3}left( {a in left[ {frac{pi }{4};frac{pi }{2}} right]} right) approx 1,04 in left( {frac{{51}}{{50}};frac{{11}}{{10}}} right)
end{array}$
Câu 46: Đáp án B
Phương pháp:
+) Tìm điều kiện để phương trình $y’=0$có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn ĐKXĐ.
+) Viết phương trình đường thẳng AB. Để A, B, C thẳng hàng $Leftrightarrow Cin AB$
Cách giải: TXĐ: $D=Rbackslash left{ left| m right| right}$
Ta có:
$begin{array}{l}
y’ = frac{{left( {2x – left| m right|} right)left( {x – left| m right|} right) – {x^2} + left| m right|x – 4}}{{{{left( {x – left| m right|} right)}^2}}} = frac{{{x^2} – 2left| m right|x + {m^2} – 4}}{{{{left( {x – left| m right|} right)}^2}}} = 0 Leftrightarrow {left( {x – left| m right|} right)^2} = 4\
Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = 2 + left| m right| Rightarrow y = left| m right| + 4 Rightarrow Aleft( {2 + left| m right|;4 + left| m right|} right)\
x = – 2 + left| m right| Rightarrow y = left| m right| – 4 Rightarrow Bleft( { – 2 + left| m right|; – 4 + left| m right|} right)
end{array} right.
end{array}$
=> Đồ thị hàm số luôn có hai điểm cực trị A, B phân biệt.
Đường thẳng AB có phương trình: $dfrac{x-2-left| m right|}{-4}=dfrac{y-4-left| m right|}{-8}Leftrightarrow 2x-4-2left| m right|=y-4-left| m right|Leftrightarrow y=2x-left| m right|$
Để$A,B,Cleft( 4;2 right)$phân biệt thẳng hàng $Leftrightarrow Cin ABRightarrow 2=4.2-left| m right|Leftrightarrow left| m right|=6$
Khi đó ta có: $Bleft( 4;2 right)equiv CRightarrow $ không thỏa mãn.
Vậy không có giá trị nào của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
