LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1: Đáp án C.
$y’=dfrac{11}{{{left( 2x+3 right)}^{2}}}>0$ với mọi $xin left( -infty ;-dfrac{3}{2} right)cup left( -dfrac{3}{2};+infty right).$
Câu 2: Đáp án C.
Chú ý rằng số phức $z=3+5i$ được biểu diễn bởi điểm $Mleft( a;b right)$ trên mặt phẳng tọa độ.
Câu 3: Đáp án C.
Chú ý rằng nếu hàm số $y=fleft( x right)$ liên tục trên $left[ a;b right]$, thể tích hình (H) tạo thành khi quay phần giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=fleft( x right)$, đường thẳng x = a và x = b quanh trục hoành là $V=pi intlimits_{a}^{b}{{{f}^{2}}left( x right)dx.}$
Câu 4: Đáp án B.
$int{{{e}^{2x}}dx}-int{{{x}^{-2}}dx}=dfrac{{{e}^{2x}}}{2}-frac{{{x}^{-1}}}{-1}+C=dfrac{{{e}^{2x}}}{2}+dfrac{1}{x}+C.$
Câu 5: Đáp án C.
$underset{xto +infty }{mathop{lim }},dfrac{2}{x-5}=0.$
Câu 6: Đáp án C.
Chú ý rằng hàm số $y=tan x$ tuần hoàn theo chu kỳ $pi $.
Câu 7: Đáp án C.
${{log }_{{{a}^{alpha }}}}b=dfrac{1}{alpha }{{log }_{a}}b.$
Câu 8: Đáp án B.
$left. I=dfrac{{{left( x+2 right)}^{4}}}{4} right|_{0}^{2}=60.$
Câu 9: Đáp án B.
Khi x = 2 thì y = 13 nên D(2;13) thuộc (C).
Câu 10: Đáp án C.
Mặt cầu có tâm $Ileft( 4;-2;3 right)$ và bán kính $IA=sqrt{{{2}^{2}}+{{1}^{2}}+{{4}^{2}}}=sqrt{21}$ nên phương trình mặt cầu đường kính AB là ${{left( x-4 right)}^{2}}+{{left( y+2 right)}^{2}}+{{left( z-3 right)}^{2}}=21.$
Câu 11: Đáp án D.
$V={{S}_{d}}.h=dfrac{sqrt{3}}{4}.{{left( 3a right)}^{2}}.a=dfrac{9sqrt{3}{{a}^{3}}}{4}.$
Câu 12: Đáp án C.
Câu 13: Đáp án A.
Chú ý rằng ta loại luôn đáp án B và C vì các điểm có tọa độ rõ ràng chỉ có thể là điểm cực trị của đồ thị hàm số, không phải hàm số.
Xét $y’ = -4{{x}^{2}}+16x = -4xleft( x-4 right).$
Khi $x=0,y’=0$ và đồ thị hàm số đổi dấu từ âm sang dương nên C(0;1) là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.
Câu 14: Đáp án B.
Là các véc tơ cùng phương với véc tơ $left( -5;8;-2 right).$
Câu 15: Đáp án A.
$P=overrightarrow{a}.overrightarrow{b}=2.3+4.left( -1 right)+left( -2 right).6=-10.$
Câu 16: Đáp án D.
Chú ý rằng $lim dfrac{2a{{n}^{3}}-6{{n}^{2}}+2}{{{n}^{3}}+n}=2a,$ do đó $2a=4Leftrightarrow a=2,{{a}^{4}}-a=16-2=14.$
Câu 17: Đáp án D.
$overrightarrow{AB}=left( -2;1;1 right);overrightarrow{AC}=left( 1;3;-2 right).$
Do đó $overrightarrow{n}=left[ overrightarrow{AB};overrightarrow{AC} right]=left( -5;-3;-7 right).$
Phương trình mặt phẳng ABC: $5x+3left( y+1 right)+7left( z-2 right)=0Leftrightarrow 5x+3y+7z-11=0.$
Câu 18: Đáp án B.
$y’=6{{x}^{2}}-6x=6xleft( x-1 right).$ Do đó $M=fleft( 0 right)=1.$
Câu 19: Đáp án B.
TXĐ: $left{ begin{array}{l}
x + 2 > 0\
1 – x > 0
end{array} right. Leftrightarrow – 2 < x < 1$
Bất phương trình tương đương: ${{log }_{3}}dfrac{x+2}{1-x}ge 1Leftrightarrow dfrac{x+2}{1-x}ge 3Leftrightarrow x+2ge 3-3xLeftrightarrow xge dfrac{1}{4}.$
Do đó $a=dfrac{1}{4};b=1$ nên $S={{2}^{2}}+{{1}^{3}}=5.$
Câu 20: Đáp án B.
Phương trình tương đương: $27left( dfrac{{{4}^{x}}}{{{9}^{x}}} right)-30.dfrac{{{2}^{x}}}{{{3}^{x}}}+8=0.$
Đặt $dfrac{{{2}^{x}}}{{{3}^{x}}}=t,$ phương trình tương đương với:
$27{t^2} – 30t + 8 = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
t = dfrac{2}{3}\
t = dfrac{4}{9}
end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = 1\
x = 2
end{array} right. Leftrightarrow left( {x – 1} right)left( {x – 2} right) = 0 Leftrightarrow {x^2} – 3x + 2 = 0.$
Câu 21: Đáp án B.
Kẻ $BHbot ACleft( Hin AC right)$ thì $BHbot SB$ (Do $SBbot left( ABC right)$), đo đó BH là đường vuông góc chung của 2 đường thằng SB và AC.
Dễ thấy $BH=frac{6}{sqrt{2}}=3sqrt{2}.$
Câu 22: Đáp án B.
Chiều cao khối chóp: $h=dfrac{asqrt{2}}{2}.tan 30{}^circ =dfrac{asqrt{6}}{6}.$
Do đó $V=dfrac{1}{3}{{a}^{2}}.h=dfrac{1}{3}{{a}^{2}}.dfrac{asqrt{6}}{6}=dfrac{sqrt{6}{{a}^{3}}}{18}.$
Câu 23: Đáp án D.
Đường thẳng đó có véc tơ chỉ phương: $overrightarrow{u}=left[ overrightarrow{{{n}_{1}}};overrightarrow{{{n}_{2}}} right]=left[ left( 3;-1;-3 right);left( -4;1;2 right) right]=left( 1;6;-1 right).$
Câu 24: Đáp án A.
Nhận thấy $left( ln 2x right)’=dfrac{1}{2x}.2=dfrac{1}{x}Rightarrow I=intlimits_{1}^{e}{fleft( ln 2x right).dleft( ln 2x right)}=intlimits_{ln 2}^{ln 2e}{fleft( t right)dt=intlimits_{ln 2}^{1+ln 2}{fleft( t right)dt=2018.}}$
Câu 25: Đáp án B.
Số kết quả xảy ra: $C_{1}^{30}.C_{2}^{29}.C_{{}}^{27}=328860.$
Câu 26: Đáp án B.
Phương trình tiếp tuyến của (P) tại điểm M: $y=4left( x-1 right)+2=4x-2.$
$S=intlimits_{0}^{1}{left( 2{{x}^{2}}-4x+2 right)dx=dfrac{2}{3}.}$
Câu 27: Đáp án D.
Xét hàm $fleft( x right)=frac{4}{3}{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+1,$ ta có $f’left( x right)=4{{x}^{2}}-4x=4xleft( x-1 right).$ Do đó hàm số $fleft( x right)$ có các điểm cực trị là $left( 0;1 right)$ và $left( 1;dfrac{1}{3} right).$ (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt thì $dfrac{1}{3}<-m<1Leftrightarrow -1<m<-dfrac{1}{3}.$
Câu 28: Đáp án A.
$P={{left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} right)}^{2}}-2{{z}_{1}}{{z}_{2}}={{left( -1 right)}^{2}}-2.3=-5.$
Câu 29: Đáp án B.
${{S}_{xq}}=pi rl$ với $l=2r=dfrac{h}{cos 30{}^circ }=dfrac{2}{sqrt{3}}hRightarrow S=pi .dfrac{{{l}^{2}}}{2}=pi .dfrac{2}{3}{{h}^{2}}simeq 2867,227c{{m}^{3}}.$
Câu 30: Đáp án C.
Ta có: $y’ = – 3{x^2} + 4x;y’ = 1 Leftrightarrow – 3{x^2} + 4x = 1 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = 1\
x = dfrac{1}{3}
end{array} right.$
Khi x = 1, tiếp tuyến có phương trình y = x + 2 trùng với đường thẳng y = x + 2.
Khi x = $dfrac{1}{3}$, tiếp tuyến có phương trình $y=x+dfrac{50}{27}.$
Câu 31: Đáp án B.
Gọi $Mleft( 2a-3;-2-a;-2-4a right)$ thuộc ${{d}_{1}}$dvà $Nleft( -1+3b;-1+2b;2+3b right)$ thuộc ${{d}_{2}}$ là 2 giao điểm.
Ta có: $overrightarrow{MN}=left( 3b-2a+2;2b+a+1;3b+4a+a right).$
Vì $overrightarrow{MN}$ cùng phương với $overrightarrow{{{n}_{left( P right)}}}=left( 1;2;3 right)$ nên ta có:
$dfrac{{3b – 2a + 2}}{1} = dfrac{{2b + a + 1}}{2} = dfrac{{3b + 4a + 4}}{3} Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
a = – 1\
b = – 2
end{array} right.$
$Rightarrow Mleft( -5;-1;2 right),$ điểm này thuộc đường thẳng ở đáp án B.
Câu 32: Đáp án C.
Ghi nhớ: Công thức đường trung tuyến: $m_{a}^{2}=dfrac{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{2}-dfrac{{{a}^{2}}}{4}.$
Gọi E là giao điểm của OH và MN.
Ta có:
$O{{E}^{2}}=dfrac{O{{M}^{2}}+O{{N}^{2}}}{2}-dfrac{M{{N}^{2}}}{4}=17-dfrac{9}{2}=frac{25}{2}Rightarrow O{{H}^{2}}=50.$
$H{{K}^{2}}=dfrac{H{{N}^{2}}+H{{O}^{2}}}{2}-dfrac{O{{N}^{2}}}{4}=dfrac{O{{M}^{2}}+O{{H}^{2}}}{2}-dfrac{O{{N}^{2}}}{4}=dfrac{17+50}{2}-dfrac{17}{4}=dfrac{117}{4}Rightarrow HK=dfrac{3sqrt{13}}{2}.$
Câu 33: Đáp án D.
Gọi 4 số đó là: a; a + d; a + 2d; a + 3d. Theo đề bài: $4a+6d=32Rightarrow 2a+3d=16.$
Lại có ${{a}^{2}}+{{left( a+d right)}^{2}}+{{left( a+2d right)}^{2}}+{{left( a+3d right)}^{2}}=336Leftrightarrow 4{{a}^{2}}+12ad+14{{d}^{2}}=336.$
$2a=16-3d$ vào, ta tìm được d = 4 hoặc$d=-4$.
Ở cả 2 trường hợp đều ra 4 số cần tìm là 2; 6; 10; 14. Tích 4 số này là 1680.
Câu 34: Đáp án A.
Gọi I là tâm của đường tròn dáy của chỏm cầu. M là 1 đỉnh của hình hộp thuộc đường tròn $left( I;frac{R}{2} right).$
Ta có: $IM=dfrac{R}{2};OM=RRightarrow OI=sqrt{{{R}^{2}}-dfrac{{{R}^{2}}}{4}}=dfrac{sqrt{3}R}{2}.$ Do đó khối hộp có chiều cao là $h=sqrt{3}R=10sqrt{3}.$
Thể tích của chỏm cầu bị cắt: $V=intlimits_{dfrac{h}{2}}^{R}{pi left( {{R}^{2}}-{{x}^{2}} right)dx=intlimits_{5sqrt{3}}^{10}{pi left( 100-{{x}^{2}} right)dxsimeq 53,87.}}$
Thể tích của khối hộp chữ nhật: $V={{S}_{d}}.h={{left( dfrac{R}{sqrt{2}} right)}^{2}}.sqrt{3}.R=dfrac{sqrt{3}}{2}{{R}^{3}}simeq 866,025.$
Thể tích khối cầu ban đầu: $V=dfrac{4}{3}pi {{R}^{3}}simeq 4188,79.$
Do đó thể tích cần tính: $Vsimeq 4188,79-866,025-2.53,87simeq 3215,023.$
Câu 35: Đáp án D.
Ta có: $intlimits_{4}^{8}{dfrac{f’left( x right)}{{{left[ fleft( x right) right]}^{2}}}dx=}intlimits_{4}^{8}{{{left[ fleft( x right) right]}^{-2}}dleft[ fleft( x right) right]=left. dfrac{{{left[ fleft( x right) right]}^{-1}}}{-1} right|_{4}^{8}}=-dfrac{1}{fleft( 8 right)}+dfrac{1}{fleft( 4 right)}=-2+4=2.$
Gọi k là 1 hằng số thực. Xét
$intlimits_{4}^{8}{{{left( dfrac{f’left( x right)}{{{f}^{2}}left( x right)}+k right)}^{2}}dx=}intlimits_{4}^{8}{dfrac{{{left[ f’left( x right) right]}^{2}}}{{{left[ fleft( x right) right]}^{4}}}dx}+2kintlimits_{4}^{8}{dfrac{f’left( x right)}{{{f}^{2}}left( x right)}dx}+{{k}^{2}}intlimits_{4}^{8}{dx}=1+2k.k+4{{k}^{2}}={{left( 2k+1 right)}^{2}}.$
Chọn $k=dfrac{-1}{2},$ ta có $intlimits_{4}^{8}{{{left( dfrac{f’left( x right)}{{{f}^{2}}left( x right)}-dfrac{1}{2} right)}^{2}}dx=0,}$ mà ${{left( dfrac{f’left( x right)}{{{f}^{2}}left( x right)}-dfrac{1}{2} right)}^{2}}ge 0$ nên ${{left( frac{f’left( x right)}{{{f}^{2}}left( x right)}-frac{1}{2} right)}^{2}}=0Leftrightarrow dfrac{f’left( x right)}{{{f}^{2}}left( x right)}=dfrac{1}{2}$
$Rightarrow int{dfrac{f’left( x right)}{{{f}^{2}}left( x right)}dx=dfrac{x}{2}+CRightarrow -dfrac{1}{fleft( x right)}=dfrac{x}{2}+C.}$ Với $x=text{ }4$, ta có
$-dfrac{1}{fleft( 4 right)}=2+CLeftrightarrow -4=2+CLeftrightarrow C=-6.$
Do đó: $fleft( x right)=dfrac{-1}{dfrac{x}{2}-6}=dfrac{2}{12-x}.$ Do đó $fleft( 6 right)=dfrac{2}{12-6}=dfrac{2}{6}=dfrac{1}{3}.$
