Câu 1:
a.
$begin{array}{l}
P = left( {dfrac{1}{{x – sqrt x }} + dfrac{1}{{sqrt x – 1}}} right):dfrac{{sqrt x }}{{x – 2sqrt x + 1}}left( {x > 0,x ne 1} right)\
= left( {dfrac{1}{{sqrt x left( {sqrt x – 1} right)}} + dfrac{{sqrt x }}{{sqrt x left( {sqrt x – 1} right)}}} right):dfrac{{sqrt x }}{{{{left( {sqrt x – 1} right)}^2}}}\
= dfrac{{sqrt x + 1}}{{sqrt x left( {sqrt x – 1} right)}}.dfrac{{{{left( {sqrt x – 1} right)}^2}}}{{sqrt x }} = dfrac{{x – 1}}{x}
end{array}$
b. Ta có
$x=dfrac{2}{2-sqrt{3}}=dfrac{2left( 2+sqrt{3} right)}{4-3}=4+2sqrt{3}$
Thay $x=4+2sqrt{3}$ (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức P ta được
$P=dfrac{4+2sqrt{3}-1}{4+2sqrt{3}}=dfrac{3+2sqrt{3}}{4+2sqrt{3}}=dfrac{sqrt{3}}{2}$
Vậy khi $x=dfrac{2}{2-sqrt{3}}$ thì $P=dfrac{sqrt{3}}{2}$
c. Để $P>dfrac{1}{2}$thì $dfrac{x-1}{x}>dfrac{1}{2}Leftrightarrow dfrac{x-1}{x}-dfrac{1}{2}>0Leftrightarrow dfrac{2x-2-x}{2x}>0Leftrightarrow dfrac{x-2}{2x}>0$
Vì $x>0;xne 1$ nên $2x>0Rightarrow x-2>0Leftrightarrow x>2$( thỏa mãn điều kiện)
Vậy với $x>2$ thì $P>dfrac{1}{2}$
Câu 2:
Gọi chiều dài của khu vườn lúc đầu là x (cm)
Chiều rộng của khu vườn lúc đầu là y (cm) (ĐK: $0<x;y<dfrac{72}{2}$)
Vì chu vi khu vườn lúc đầu là 72 cm nên ta có phương trình:
$2left( x+y right)=72$ (1)
Chiều rộng sau khi tăng là: 2y (cm)
Chiều dài sau khi tăng là: 3x (cm)
Vì tăng chiều rộng lên gấp đôi và tăng chiều dài lên gấp ba thì chu vi của khu vườn mới là 194 m nên ta có phương trình:
$2left( 3x+2y right)=194$ (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
$left{ begin{array}{l}
2left( {x + y} right) = 72\
2left( {3x + 2y} right) = 194
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
2x + 2y = 72\
3x + 2y = 97
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
x = 25\
y = 11
end{array} right.$ (TMĐK)
Vậy chiều dài và chiều rộng đã cho lúc ban đầu ần lượt là 25cm, 11cm.
Câu 3:
- Thay m=1 vào hệ phương trình ta được
$left{ begin{array}{l}
3x – y = 2.1 – 1\
x + 2y = 3.1 + 2
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
6x – 2y = 2\
x + 2y = 5
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
x = 1\
y = 2
end{array} right.$
Vậy hệ phương trình có nghiệm $left( {x;y} right) = left( {1;2} right)$
b. $left{ begin{array}{l}
3x – y = 2m – 1\
x + 2y = 3m + 2
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
6x – 2y = 4m – 2\
x + 2y = 3m + 2
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
x = m\
y = m + 1
end{array} right.$
Để ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=5$ thì ${m^2} + {left( {m + 1} right)^2} = 5 Leftrightarrow {m^2} + {m^2} + 2m + 1 = 5 Leftrightarrow {m^2} + m – 2 = 0 Leftrightarrow left( {m – 1} right)left( {m + 2} right) = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
m = 1\
m = – 2
end{array} right.$
Vậy $left[ begin{array}{l}
m = 1\
m = – 2
end{array} right.$ thì ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=5$
Câu 4:
Để $y=left( a-2b right)x+b$ đi qua $Aleft( 1;2 right)$và $Bleft( -4;-3 right)$ thì $left{ begin{array}{l}
2 = left( {a – 2b} right)1 + b\
– 3 = left( {a – 2b} right)left( { – 4} right) + b
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
a – b = 2\
– 4a + 9b = – 3
end{array} right.$
$left[ begin{array}{l}
m = 1\
m = – 2
end{array} right.$ $Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
4a – 4b = 8\
– 4a + 9b = – 3
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
b = 1\
a = 3
end{array} right.$
Vậy $left{ begin{array}{l}
b = 1\
a = 3
end{array} right.$ thì $y=left( a-2b right)x+b$ đi qua $Aleft( 1;2 right)$và$Bleft( -4;-3 right)$
Câu 5:
- Xét tứ giác BEFI có:
$widehat{AEB}={{90}^{0}}$(Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
$widehat{FIB}={{90}^{0}}$( gt)
$Rightarrow widehat{AEB}+widehat{FIB}={{180}^{0}}$
$Rightarrow $Tứ giác BEFI nội tiếp ( tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180 độ)
- Ta có $widehat{ACB}={{90}^{0}}$(Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Xét $Delta ACB$vuông tại A có CI là đường cao, ta có:
$C{{I}^{2}}=IA.IB$ (Hệ thức lượng trong tam giác vuông)
Mà CI = ID (đường kính vuông góc với dây cung)
$Rightarrow CI.ID=IA.IB$
+) Ta có $Delta ACFsim Delta AEC$(g-g)
$Rightarrow dfrac{AC}{AE}=dfrac{text{AF}}{AC}Rightarrow A{{C}^{2}}=AE.text{AF}$
- Ta có $widehat{ACD}=widehat{CEA}$(Hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)
$Rightarrow $CA là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp $Delta Ctext{EF}$ (Góc có đỉnh nằm trên đường tròn, một cạnh chứa dây cung có số đo bằng nửa cung căng dây nằm bên trong góc đó)
Mà $CAbot CB$ $Rightarrow $ Tâm đường tròn ngoại tiếp $Delta Ctext{EF}$ thuộc BC cố định.
Cách 2: Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng CD chứa tia CA, kẻ tia Cx là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác CEF.
Xét đường tròn ngoại tiếp tam giác CEF có:
$widehat{DCx}=widehat{text{CEF}}$(góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung CF)
Mà $widehat{ACD}=widehat{text{CEF}}$(cmt)
$Rightarrow widehat{ACD}=widehat{DCx}$
Suy ra tia CA và tia Cx trùng nhau.
Mà Cx là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác CEF
Suy ra CA cũng là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác CEF.
Câu 6: Giả sử:
$a+b+c+d+ege sqrt{a}left( sqrt{b}+sqrt{c}+sqrt{d}+sqrt{e} right)$
$Leftrightarrow 4left( a+b+c+d+e right)ge 4sqrt{ab}+4sqrt{ac}+4sqrt{ad}+4sqrt{ae}$$Leftrightarrow {{left( sqrt{a}-2sqrt{b} right)}^{2}}+{{left( sqrt{a}-2sqrt{c} right)}^{2}}+{{left( sqrt{a}-2sqrt{d} right)}^{2}}+{{left( sqrt{a}-2sqrt{e} right)}^{2}}ge 0$(luôn đúng)
Vậy $a+b+c+d+ege sqrt{a}left( sqrt{b}+sqrt{c}+sqrt{d}+sqrt{e} right)$
Dấu “=” xảy ra khi a = 4b = 4c = 4d = 4e
