HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1: (2 điểm)
a) Thay x = 9 (TMĐK) vào biểu thức A ta được:
$A=dfrac{2sqrt{9}}{sqrt{9}-2}=dfrac{6}{3-2}=6$
Vậy khi x = 9 thì A = 6
b)
$begin{array}{l}
B = dfrac{x}{{x – 4}} + dfrac{1}{{sqrt x + 2}}\
= dfrac{x}{{(sqrt x + 2)(sqrt x – 2)}} + dfrac{1}{{sqrt x + 2}}\
= dfrac{{x + sqrt x – 2}}{{(sqrt x + 2)(sqrt x – 2)}}\
= dfrac{{(sqrt x + 2)(sqrt x – 1)}}{{(sqrt x + 2)(sqrt x – 2)}}\
= dfrac{{sqrt x – 1}}{{sqrt x – 2}}
end{array}$
Vậy $B=dfrac{sqrt{x}-1}{sqrt{x}-2}$ với $xge 0; xne 4$
c)
$dfrac{A}{B} = dfrac{{2sqrt x }}{{sqrt x – 2}}:dfrac{{sqrt x – 1}}{{sqrt x – 2}}$.
$begin{array}{l}
= dfrac{{2sqrt x }}{{sqrt x – 2}}.dfrac{{sqrt x – 2}}{{sqrt x – 1}}\
= dfrac{{2sqrt x }}{{sqrt x – 1}}\
= 2 + dfrac{2}{{sqrt x – 1}}
end{array}$
Để biểu thức $dfrac{A}{B}$ có giá trị là số nguyên$Leftrightarrow dfrac{2}{sqrt{x}-1}$ có giá trị nguyên
$Rightarrow 2 vdots (sqrt{x}-1)$ hay $sqrt{x}-1in $ Ư(2)
Mà Ư(2) $in left{ pm 1;pm 2 right}$
Ta có bảng sau:
Vì $xge 0;xne 4$
Vậy $xin left{ 0;9 right}$ thì $dfrac{A}{B}$ có giá trị là số nguyên.
Bài 2 (2 điểm)
Gọi số sản phẩm theo kế hoạch mỗi ngày phân xưởng sản xuất được là x
(sản phẩm; $xin {{N}^{*}}$ ; x < 1100)
Số sản phẩm thực tế phân xưởng làm được trong một ngày là : x + 5 (sản phẩm)
Thời gian phân xưởng hoàn thành công việc theo kế hoạch là $dfrac{1100}{x}$ (ngày)
Thời gian phân xưởng hoàn thành công việc theo thực tế là $dfrac{1100}{x+5}$ (ngày)
Vì phân xưởng đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian quy định 2 ngày nên ta có phương trình :
$dfrac{1100}{x}-dfrac{1100}{x+5}=2$
$begin{array}{l}
Leftrightarrow 1100(x + 5) – 1100x = 2x(x + 5)\
Leftrightarrow 1100x + 5500 – 1100x = 2{x^2} + 10x\
Leftrightarrow 2{x^2} + 10x – 5500 = 0\
Leftrightarrow {x^2} + 5x – 2750 = 0\
Leftrightarrow {x^2} + 55x – 50x – 2750 = 0\
Leftrightarrow x(x + 55) – 50(x + 55) = 0\
Leftrightarrow (x + 55)(x – 50) = 0
end{array}$
$Rightarrow {{x}_{1}} = -55$ (loại) ; x2 =50 (TMĐK)
Vậy theo kế hoạch mỗi ngày phân xưởng sản xuất được 50 sản phẩm.
Bài 3 (2 điểm)
- Giải hệ phương trinh: $left{ begin{array}{l}
sqrt {x + 1} – dfrac{2}{{y – 2}} = 4\
sqrt {x + 1} + dfrac{1}{{y – 2}} = 5
end{array} right.$
ĐKXĐ: $xge -1;yne 2$
Đặt $a=sqrt{x+1}$ ; $b=dfrac{1}{y-2}$ ĐK: $age 0;bne 0$. Ta có hệ phương trình:
$begin{array}{l}
left{ begin{array}{l}
3a – 2b = 4\
2a + b = 5
end{array} right.\
Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
3a – 2b = 4\
4a + 2b = 10
end{array} right.\
Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
7a = 14\
2a + b = 5
end{array} right.\
Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
a = 2\
b = 1
end{array} right.(TM)
end{array}$.
Thay
$left{ begin{array}{l}
sqrt {x + 1} = 2\
dfrac{1}{{y – 2}} = 1
end{array} right.$
$begin{array}{l}
Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
x + 1 = 4\
y – 2 = 1
end{array} right.\
Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
x = 3\
y = 3
end{array} right.(TM)
end{array}$
Vậy hệ phương trình đã cho có 1 nghiệm $(x;y) = (3;3).$
3) Cho phương trình: ${{x}^{2}}-mx-4=0$ (1)
a)Ta có:
$Delta ={{(-m)}^{2}}-4.1.(-4)$
= m2 + 16 > 0 với mọi giá trị của $m$
Vậy phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ với mọi giá trị của $m$.
b)Vì phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ với mọi giá trị của m nên theo định lý Vi-ét ta có :
$left{ begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = m\
{x_1}{x_2} = – 4
end{array} right.$
Mà ${{x}_{1}}{{x}_{2}}-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}=-13$
$begin{array}{l}
Leftrightarrow {x_1}{x_2} – (x_1^2 + x_2^2) = – 13\
Leftrightarrow {x_1}{x_2} – left[ {{{(x_1^{} + x_2^{})}^2} – 2{x_1}{x_2}} right] = – 13\
Rightarrow – 4 – left[ {{m^2} – 2.( – 4)} right] = – 13
end{array}$
(Thay ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=m;{{x}_{1}}{{x}_{2}}=-4$)
$begin{array}{l}
Leftrightarrow {m^2} = 1\
Leftrightarrow m = pm 1
end{array}$
Vậy $m=pm 1$ thì thỏa mãn điều kiện bài toán.
Bài 4 (3,5 điểm)
a. Chứng minh rằng tứ giác AMON nội tiếp
Vì AM , AN là tiếp tuyến của (O) nên :
$widehat{AMO}=widehat{ANO}={{90}^{0}}$
Xét tứ giác AMON có:
$widehat{AMO}+widehat{ANO}={{90}^{0}}+{{90}^{0}}={{180}^{0}}$
Vì 2 góc này ở vị trí đối nhau nên Tứ giác AMON nội tiếp đường tròn.
b) Chứng minh :$A{{M}^{2}}=AB.AC$
Xét $Delta AMB$ và $Delta ACM$có:
$widehat{CAM}$ chung
$widehat{AMB}=widehat{ACM}$ (Vì cùng bằng $dfrac{1}{2}sdoversetfrown{MB}$ )
$Rightarrow Delta AMBsim Delta ACM$(g-g)
$Rightarrow dfrac{AM}{AC}=dfrac{AB}{AM}$ (tỉ số đồng dạng) $Rightarrow A{{M}^{2}}=AB.AC$
c) Chứng minh tứ giác BHOC nội tiếp.
Ta có: OM = ON = R$Rightarrow Delta OMN$cân tại O có OA là tia phân giác của $widehat{MON}$(Tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) nên OA đồng thời là đường trung trực của MN
Áp dụng hệ thức lượng vào $Delta ANO$ vuông tại N có:
$A{{N}^{2}}=AH.AO$
Mà $A{{M}^{2}}=AB.AC$(cmt)
Và $AM=AN$ (Tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)
$begin{array}{l}
Rightarrow AH.AO = AB.AC\
Rightarrow dfrac{{AH}}{{AC}} = dfrac{{AB}}{{AO}}
end{array}$
Xét $Delta ABH$và $Delta AOC$có:
$widehat{OAC}$ chung
$dfrac{AH}{AC}=dfrac{AB}{AO}$(cmt)
$Rightarrow Delta ABHsim Delta AOC$(c-g-c)$Rightarrow widehat{AHB}=widehat{ACO}$
Mà $widehat{AHB}+widehat{BHO}={{180}^{0}}$(2 góc kề bù)
$Rightarrow widehat{AOC}+widehat{BHO}={{180}^{0}}$
Do đó tứ giác BHOC có tổng 2 góc đối diện bằng ${{180}^{0}}$
Vậy Tứ giác BHOC nội tiếp .
d)Chứng minh rằng HN là tia phân giác của $widehat{BHC}$.
Vì tứ giác BHOC nội tiếp $Rightarrow widehat{OHC}=widehat{OBC}$ (2 góc nội tiếp cùng chắn$oversetfrown{OC}$)
Mà OB = OC = R $Rightarrow Delta OBC$ cân tại O$Rightarrow widehat{OBC}=widehat{OCB}$
Theo chứng minh câu c: $widehat{AHB}=widehat{OCB}Rightarrow widehat{AHB}=widehat{OHC}$
Mặt khác: $MNbot OA$tại H $Rightarrow widehat{AHB}+widehat{BHN}=widehat{ANH}={{90}^{0}}$
$widehat{OHC}+widehat{CHN}=widehat{OHN}={{90}^{0}}$
$Rightarrow widehat{BHN}=widehat{CHN}$
Vậy HN là tia phân giác của $widehat{BHC}$
Bài 5 (0,5 điểm). Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn $sqrt{ab}+sqrt{bc}+sqrt{ca}=1$
Chứng minh rằng: $dfrac{{{a}^{2}}}{a+b}+dfrac{{{b}^{2}}}{b+c}+dfrac{{{c}^{2}}}{c+a}ge dfrac{1}{2}$
Giải
Ta có : a, b , c là các số dương nên áp dụng bất đẳng thức cô-si cho 2 số dương ta có:
$dfrac{{{a^2}}}{{a + b}} + dfrac{{a + b}}{4} ge 2sqrt {dfrac{{{a^2}}}{{a + b}}.dfrac{{a + b}}{4}} = 2.dfrac{a}{2} = a$
Tương tự:
$dfrac{{{b}^{2}}}{b+c}+dfrac{b+c}{4}ge b$
$dfrac{{{c}^{2}}}{c+a}+dfrac{c+a}{4}ge c$
Cộng vế với vế ta được:
$dfrac{{{a}^{2}}}{a+b}+dfrac{{{b}^{2}}}{b+c}+dfrac{{{c}^{2}}}{c+a}+dfrac{2(a+b+c)}{4}ge a+b+c$
Hay
$dfrac{{{a}^{2}}}{a+b}+dfrac{{{b}^{2}}}{b+c}+dfrac{{{c}^{2}}}{c+a}ge dfrac{a+b+c}{2}$
Mặt khác: Theo bất đẳng thức côsi :
$dfrac{a+b}{2}ge sqrt{ab}$
$dfrac{b+c}{2}ge sqrt{bc}$
$dfrac{c+a}{2}ge sqrt{ca}$
$Rightarrow dfrac{a+b}{2}+dfrac{b+c}{2}+dfrac{c+a}{2}ge sqrt{ab}+sqrt{bc}+sqrt{ca}$
$begin{array}{l}
Leftrightarrow a + b + c ge 1\
Rightarrow dfrac{{a + b + c}}{2} ge dfrac{1}{2}
end{array}$
Dấu đẳng thức xảy ra $ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
dfrac{{{a^2}}}{{a + b}} = dfrac{{a + b}}{4}\
dfrac{{{b^2}}}{{b + c}} = dfrac{{b + c}}{4}\
dfrac{{{c^2}}}{{c + a}} = dfrac{{c + a}}{4}\
a = b = c\
sqrt {ab} + sqrt {bc} + sqrt {ca} = 1
end{array} right. Leftrightarrow a = b = c = dfrac{1}{3}$
