Bài 1 (2 điểm): Giải các hệ phương trình sau:
a. $left{ begin{array}{l}
3x – 7y = – 55\
5x + 4y = 18
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
15x – 35y = – 275\
– 15x – 12y = – 54
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
– 47y = – 329\
5x + 4y = 18
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
y = 7\
x = – 2
end{array} right.$
Vậy hệ phương trình có nghiệm $left( {x;y} right) = left( { – 2;7} right)$
b. $left{ begin{array}{l}
0,8x + y = 0,6\
0,3x – 0,9y = 1,5
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
2,4x + 3y = 1,8\
x – 3y = 5
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
3,4x = 6,8\
x – 3y = 5
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
x = 2\
y = – 1
end{array} right.$
Vậy hệ phương trình có nghiệm $left( x;y right)=left( 2;-1 right)$ $left( x;y right)=left( 2;-1 right)$
Bài 2 (2 điểm): Cho ba điểm $Aleft( 0;-8 right);Bleft( dfrac{5}{2};2 right);Cleft( 1;7 right)$ và đường thẳng $left( {{d}_{1}} right)$ có phương trình $3x+2y=-1.$
- Viết phương trình đường thẳng $left( {{d}_{2}} right)$ đi qua hai điểm A và B.
Gọi $y=text{ }ax+b$ là phương trình đường thẳng đi qua hai điểm $Aleft( 0;-8 right);Bleft( dfrac{5}{2};2 right)$. Khi đó $a$ và $b$ là nghiệm của hệ phương trình:
$left{ begin{array}{l}
a.0 + b = – 8\
frac{5}{2}a + b = 2
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
b = – 8\
5a – 16 = 4
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
b = – 8\
a = 4
end{array} right.$
Vậy phương trình đường thẳng $left( {{d}_{2}} right)$ đi qua hai điểm $A$ và $B$ là $y=4x-8$
- Viết phương trình đường thẳng $left( {{d}_{3}} right)$ đi qua điểm C và song song với $left( {{d}_{1}} right)$
Gọi $y=text{ }ax+b$ là phương trình đường thẳng đi qua điểm $Cleft( 1;7 right)$và song song với đường thẳng $left( {{d}_{1}} right)$: $3x+2y=-1Leftrightarrow y=dfrac{-3}{2}x-dfrac{1}{2}.$Khi đó ta có:
$left{ begin{array}{l}
a.1 + b = 7\
a = frac{{ – 3}}{2}\
b ne frac{{ – 1}}{2}
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
frac{{ – 3}}{2} + b = 7\
a = frac{{ – 3}}{2}\
\
b ne frac{{ – 1}}{2}
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
a = frac{{ – 3}}{2}\
b = frac{{17}}{2}
end{array} right.$
Vậy phương trình đường thẳng $left( {{d}_{3}} right)$ đi qua điểm $Cleft( 1;7 right)$và song song với đường thẳng $left( {{d}_{1}} right)$là: $y=dfrac{-3}{2}x+dfrac{17}{2}.$
Bài 3 (2 điểm): Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình.
Gọi số áo tổ I và tổ II may được trong một ngày lần lượt là: $x,text{ }y$ (đơn vị: chiếc, ĐK: $x,y$ nguyên dương, nhỏ hơn 1310).
Tổ một may trong $3$ ngày, tổ hai may trong $5$ ngày thì cả hai tổ may được $1310$ chiếc áo nên ta có phương trình: $3x+5y=1310text{ }left( 1 right)$
Trong một ngày tổ một may nhiều hơn tổ hai là$~10$ áo nên ta có: $x-y=10text{ }left( 2 right)$
Từ $left( 1 right)$ và $left( 2 right)$ ta có hệ phương trình: $left{ begin{array}{l}
3x + 5y = 1310\
x – y = 10
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
3x + 5y = 1310\
– 3x + 3y = – 30
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
8y = 1280\
x – y = 10
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
y = 160\
x = 170
end{array} right.$ (TMĐK)
Vậy số áo tổ I và tổ II may được trong một ngày lần lượt là: 170 chiếc, 160 chiếc.
Bài 4 (3 điểm): Cho tam giác $ABCtext{ }left( AB<AC right)$ có 3 góc nhọn nội tiếp trong đường tròn $left( O;R right)$ . Gọi $H$ là giao điểm của 3 đường cao $AD,text{ }BE,text{ }CF$ của tam giác $ABC$ .
- Chứng minh rằng các tứ giác $AEHF,text{ }AEDB$ nội tiếp được.
- Vẽ đường kính $AK$ của đường tròn $left( O right).$ Chứng minh $AB.AC=2R.AD.$
- Chứng minh $OC$ vuông góc với $DE.$
Lại có: $widehat{AEB}=widehat{ADB}={{90}^{0}}Rightarrow E,D$ thuộc đường tròn đường kính $AB$ . $Rightarrow AEDB$ là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính$AB$ .
Lại có: $widehat{ABC}=widehat{AKC}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC) |
|
Hay $widehat{ABD}=widehat{AKC}$
Xét $Delta ADB,Delta ACK$ có: $widehat{ADB}=widehat{ACK}={{90}^{0}},$ $widehat{ABD}=widehat{AKC}$$Rightarrow Delta DABbacksim Delta CAK$ (g.g)
$Rightarrow dfrac{AB}{AK}=dfrac{AD}{AC}Rightarrow AB.AC=AK.AD$ hay $AB.AC=2R.AD$ (đpcm)
- Do $AEDB$ là tứ giác nội tiếp (ý a) nên $widehat{DEC}=widehat{ABC}$ (cùng bù với $widehat{AED}$ )
Mà $widehat{ABC}=widehat{AKC}$$Rightarrow widehat{DEC}=widehat{AKC}$
Lại có $widehat{AKC}+widehat{KAC}={{90}^{0}}$ $Rightarrow widehat{DEC}+widehat{KAC}={{90}^{0}}$ (1)
Xét $Delta AOC$ có $OA=OCRightarrow Delta AOC$ cân tại O
$Rightarrow widehat{OAC}=widehat{ACO}$ hay $widehat{KAC}=widehat{ACO}$ (2)
Từ (1), (2) $Rightarrow widehat{DEC}+widehat{ACO}={{90}^{0}}$ hay $widehat{JEC}+widehat{JCE}={{90}^{0}}Rightarrow widehat{CJE}={{90}^{0}}Rightarrow CObot DE$ tại $J.$
Bài 5 (1 điểm): Tìm các số tự nhiên $x,text{ }y$ thỏa mãn phương trình $2x+5y=35$
Giả sử $x,text{ }y$ là các số tự nhiên thỏa mãn phương trình $2x+5y=35$. Do $35$ và $5y$ đều chia hết cho $5$ nên $2xvdots 5Rightarrow xvdots 5$ (vì $2$ và $5$ nguyên tố cùng nhau).
Đặt $x=5zleft( zin N right)$ . Thay vào phương trình ta được: $10z+5y=35Leftrightarrow 2z+y=7$
Suy ra $left{ begin{array}{l}
y = 7 – 2z\
x = 5z
end{array} right.$ $left( {z in N,2z le 7} right)$
Ta có bảng sau:
Vậy $left( x;y right)in left{ left( 0;7 right);left( 5;5 right);left( 10;3 right);left( 15;1 right) right}$
