Câu 38: Đáp án C
Ta có: $dfrac{9{{a}^{3}}+a}{b+1}=sqrt{3b+2}Leftrightarrow 9{{a}^{3}}+a=left( b+1 right)sqrt{3b+2}$
Đặt $t=sqrt{3b+2}Rightarrow b=dfrac{{{t}^{2}}-2}{3}Rightarrow $ $9{{a}^{3}}+a=dfrac{{{t}^{2}}+1}{3}tLeftrightarrow 27{{a}^{3}}+3a={{t}^{3}}+tLeftrightarrow {{left( 3a right)}^{3}}+3a={{t}^{3}}+t$
Xét hàm số $fleft( u right)={{u}^{3}}+uleft( uin mathbb{R} right)Rightarrow f’left( u right)=3{{u}^{2}}+1>0,,forall uin mathbb{R}Rightarrow fleft( u right)$ đồng biến trên $mathbb{R}$
Khi đó: $fleft( 3a right)=fleft( t right)Leftrightarrow t=3aRightarrow sqrt{3b+2}=3aLeftrightarrow b=dfrac{9{{a}^{2}}-2}{3}$
Suy ra $S=6a-3{{a}^{2}}+dfrac{2}{3}=-3{{left( a-1 right)}^{2}}+dfrac{11}{3}le dfrac{11}{3}$
Do đó giá trị lớn nhất của biểu thức $S=6a-b$ là $dfrac{11}{3}$
Câu 39: Đáp án A
Mặt phẳng (P) cắt Ox, Oy, Oz tại M, N, P có phương trình $dfrac{x}{2}+dfrac{y}{b}+dfrac{z}{c}=1$
Vì N thuộc mặt phẳng (P) $Rightarrow dfrac{1}{2}+dfrac{2}{b}+dfrac{1}{c}=1Leftrightarrow dfrac{1}{b}+dfrac{1}{c}=dfrac{1}{2}Leftrightarrow bc=2left( b+c right).$
Câu 40: Đáp án C
Ta có: $frac{{{V_{ABC.MNP}}}}{{{V_{ABC.A’B’C’}}}} = frac{{frac{{AM}}{{AA’}} + frac{{BN}}{{BB’}} + frac{{CP}}{{CC’}}}}{3} = frac{{frac{1}{2} + 2.frac{2}{3}}}{3} = frac{{11}}{{18}}{V_{ABC.MNP}} = frac{{11}}{{18}}6{a^3} = frac{{11}}{3}{a^3}$
Câu 41: Đáp án D
Dựa vào hình vẽ, ta thấy rằng
+ Đồ thị hàm số $f’left( x right)$ cắt Ox tại 3 điểm phân biệt ${{x}_{1}}left( -1;0 right),{{x}_{2}}left( 0;1 right),{{x}_{3}}left( 2;3 right)$
Và $f’left( x right)$ đổi dấu từ $-xrightarrow{{}}+$ khi đi qua ${{x}_{1}},{{x}_{3}}Rightarrow $ Hàm số có 2 điểm cực tiểu, 1 điểm cực đại
+ Hàm số $y=fleft( x right)$ nghịch biến trên khoảng $left( -1;{{x}_{1}} right),$ đồng biến trên $left( {{x}_{1}};{{x}_{2}} right)Rightarrow $ (1) sai
+ Hàm số $y=fleft( x right)$ nghịch biến trên khoảng $left( {{x}_{2}};{{x}_{3}} right)$ (chứa khoảng $(1;2)$), đồng biến trên khoảng $left( {{x}_{3}};5 right)$ (chứa khoảng $(3;5)$) $Rightarrow left( 2 right),left( 3 right)$ đúng
Vậy mệnh đề 2,3 đúng và 1, 4 sai.
Câu 42: Đáp án A
Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ âm $Rightarrow yleft( 0 right)=d<0$
Ta có $y’ = 3a{x^2} + 3bx + c,y’ = 0 Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = – frac{{2b}}{{3a}}\
{x_1}.{x_2} = frac{c}{{3a}}
end{array} right..$ Mà $y’>0,forall xin left( {{x}_{1}};{{x}_{2}} right)Rightarrow a<0$
Mặt khác $left{ begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} > 0\
{x_1}.{x_2} < 0
end{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l}
– frac{{2b}}{{3a}} > 0\
frac{c}{{3a}} < 0
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
b > 0\
c < 0
end{array} right..$
Vậy $a<0,b>0,c>0,d<0$.
Câu 43: Đáp án D
Ta có $f’left( x right)=-{{e}^{x}}.{{f}^{2}}left( x right)Leftrightarrow -dfrac{f’left( x right)}{{{f}^{2}}left( x right)}={{e}^{x}}Leftrightarrow int{-dfrac{f’left( x right)}{{{f}^{2}}left( x right)}}dx=int{{{e}^{x}}}dxLeftrightarrow dfrac{1}{fleft( x right)}={{e}^{x}}+C$
Mà $fleft( 0 right)=dfrac{1}{2}Rightarrow dfrac{1}{fleft( 0 right)}={{e}^{0}}+CLeftrightarrow C+1=2Rightarrow C=1xrightarrow{{}}fleft( x right)=dfrac{1}{{{e}^{x}}+1}$
Do đó $f’left( x right)=-dfrac{{{e}^{x}}}{{{left( {{e}^{x}}+1 right)}^{2}}}Rightarrow f’left( ln 2 right)=-dfrac{2}{9}$. Vậy phương trình tiếp tuyến là $2x+9y-2ln 2-3=0$
Câu 44: Đáp án C
Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi Parabol có phương trình $y=4-{{x}^{2}}$ và trục hoành
Suy ra $intlimits_{-2}^{2}{left( 4-{{x}^{2}} right)dx}=frac{32}{3}{{m}^{2}}$
Gọi điểm $Cleft( {a;0} right),a > 0 Rightarrow left{ begin{array}{l}
Dleft( { – a;0} right)\
Bleft( {a;4 – {a^2}} right),Aleft( { – a;4 – {a^2}} right)
end{array} right.$
Gọi ${{S}_{1}}$ là diện tích ABCD, suy ra ${{S}_{1}}=AB.BC=2a.left( 4-{{a}^{2}} right){{m}^{2}}$
Gọi ${{S}_{2}}$ là diện tích có hoa văn, suy ra ${{S}_{2}}=S-{{S}_{1}}$
${{S}_{2}}$ nhỏ nhất khi và chỉ khi ${{S}_{1}}$ lớn nhất
Xét hàm số $fleft( a right)=2aleft( 4-{{a}^{2}} right),ain left( 0;4 right)$
Ta có $f’left( a right)=8-6{{a}^{2}}Rightarrow f’left( a right)=0Leftrightarrow a=dfrac{2}{sqrt{3}}$
Xét bảng biến thiên hàm số $fleft( a right)$ với $ain left( 0;4 right)$
Suy ra $underset{left( 0;4 right)}{mathop{max }},fleft( a right)=fleft( dfrac{2}{sqrt{3}} right)=dfrac{32sqrt{3}}{9}Rightarrow {{S}_{1}}left( max right)=dfrac{32sqrt{3}}{9}{{m}^{2}}.$ Suy ra ${{S}_{2}}left( min right)=dfrac{32}{3}-dfrac{32sqrt{3}}{9}approx 4,51{{m}^{2}}$
Suy ra số tiền cần bằng 902.000 đồng
Câu 45: Đáp án B
Ta có $gleft( x right)=2fleft( x right)+{{left( 1-x right)}^{2}}xrightarrow{{}}g’left( x right)=2f’left( x right)-2left( 1-x right);g’left( x right)=0Leftrightarrow f’left( x right)=1-x$
Đồ thị hàm số $y=f’left( x right)$ cắt đường thẳng $y=1-x$ tại $x=-4;x=-1;x=-2$
Đồng thời $g’left( x right)$ đổi dấu từ $-$ sang + khi đi qua $x=-1xrightarrow{{}}underset{left[ -4;3 right]}{mathop{min }},gleft( x right)=gleft( -1 right)$
Câu 46: Đáp án B
Xét hàm số $fleft( x right)=frac{1}{4}{{x}^{4}}-frac{19}{2}{{x}^{2}}+30x+m-20$ trên $left[ 0;2 right],$ có $f’left( x right)=0Leftrightarrow x=2$
Tính $fleft( 0 right)=m-20;fleft( 2 right)=m+6xrightarrow{{}}underset{left[ 0;2 right]}{mathop{max }},y=underset{left[ 0;2 right]}{mathop{max }},left| fleft( x right) right|=left{ left| m-20 right|;left| m+6 right| right}$
TH1. Với $mathop {max }limits_{left[ {0;2} right]} y = left| {m – 20} right| Rightarrow left{ begin{array}{l}
left| {m – 20} right| ge left| {m + 6} right|\
left| {m – 20} right| le 20
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
m le 7\
– 20 le m – 20 le 20
end{array} right. Leftrightarrow 0 le m le 7$
TH2. Với $mathop {max }limits_{left[ {0;2} right]} y = left| {m + 6} right| Rightarrow left{ begin{array}{l}
left| {m – 20} right| le left| {m + 6} right|\
left| {m + 6} right| le 20
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
m ge 7\
– 20 le m + 6 le 20
end{array} right. Leftrightarrow 7 le m le 14$
Kết hợp với $min mathbb{Z},$ ta được $m=left{ 0;1;2;…;14 right}xrightarrow{{}}sum{m}=105$
Câu 47: Đáp án D
Đặt $z=x+yileft( x,yin mathbb{R} right)Rightarrow $ Tập hợp điểm M là đường tròn (C) có tâm $Ileft( 4;3 right),$ bán kính $R=sqrt{5}$
Ta có $P={{left| z+2 right|}^{2}}-{{left| z-i right|}^{2}}={{left| x+2+yi right|}^{2}}-{{left| x+left( y-1 right)i right|}^{2}}={{left( x+2 right)}^{2}}+{{y}^{2}}-{{z}^{2}}-{{left( y-1 right)}^{2}}$
$={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+4x+4-{{x}^{2}}-{{y}^{2}}+2y-1=4x+2y+3xrightarrow{{}}left( Delta right):4x+2y+3-P=0$
Ta cần tìm P sao cho đường thẳng $left( Delta right)$ và đường tròn (C) có điểm chung $Leftrightarrow dleft( I,Delta right)le R$
$Leftrightarrow dfrac{left| 4.3+2.4+3-P right|}{sqrt{{{4}^{2}}+{{2}^{2}}}}le sqrt{5}Leftrightarrow left| 23-P right|le 10Leftrightarrow -10le 23-Ple 10Leftrightarrow 13le Ple 33$
Do đó, $max P=33.$ Dấu “=” xảy ra $ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
4x + 2y – 30 = 0\
{left( {x – 3} right)^2} + {left( {y – 4} right)^2} = 5
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
x = 5\
y = – 5
end{array} right.$
Vậy $left| z right|=5sqrt{2}$
Câu 48: Đáp án A
Gọi số cần tìm có dạng $overline{abcd},$ vì $overline{abcd}$ chia hết cho 6 $ Rightarrow left{ begin{array}{l}
d = left{ {2,4,6,8} right}\
a + b + c + d:3
end{array} right..$
Khi đó, chọn d có 4 cách chọn; b và c đều có 9 cách chọn (từ $1to 9).$
Nếu $b+c+dvdots 3$ thì $a=left{ 3,6,9 right}Rightarrow $ có 3 cách chọn a
Nếu $b+c+d$ chia 3 dư 1 thì $a=left{ 2,5,8 right}Rightarrow $ có 3 cách chọn a
Nếu $b+c+d$ chia 3 dư 2 thì $a=left{ 1,4,7 right}Rightarrow $ có 3 cách chọn a
Suy ra a chỉ có 3 cách chọn $Rightarrow $ có $4.9.9.3=972$ số chia hết cho 6
Vậy xác suất cần tính là $P=dfrac{972}{{{9}^{4}}}=dfrac{4}{27}$
Câu 49: Đáp án B
Phương trình đường thẳng có hệ số góc k, đi qua $Mleft( m;2 right)$ là $y-1=kleft( x-m right)left( d right)$
Vì (d) tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi $left{ begin{array}{l}
k = f’left( x right)\
kleft( {x – m} right) + 2 = – {x^3} + 6{x^2} + 2
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
k = – 3{x^2} + 12x\
kleft( {x – m} right) = – {x^3} + 6{x^2}
end{array} right.$
$ Leftrightarrow left( { – 3{x^2} + 12x} right)left( {x – m} right) + {x^3} – 6{x^2} = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = 0\
left( { – 3x + 12x} right)left( {x – m} right) + {x^2} – 6x = 0
end{array} right.$
$ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = 0\
– 3{x^2} + 3mx + 12x – 12m + {x^2} – 6x = 0
end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = 0\
2{x^2} – 3left( {m + 2} right)x + 12m = 0left( * right)
end{array} right.$
Để từ M kẻ được 2 tiếp tuyến tới đồ thị (C) khi và chỉ khi:
TH1. Phương trình (*) có nghiệm kép khác 0 $ Leftrightarrow Delta = 9{left( {m + 2} right)^2} – 96m = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
m = 6\
m = frac{2}{3}
end{array} right.$
TH2. Phương trình (*) có nghiệm kép bằng 0, nghiệm còn lại khác 0 $ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
12m = 0\
Delta > 0
end{array} right. Leftrightarrow m = 0$
Vậy $m=left{ 0;frac{2}{3};6 right}$ là các giá trị cần tìm $xrightarrow{{}}sum{m}=0+frac{2}{3}+6=frac{20}{3}$ .
Câu 50: Đáp án D
Điều kiện: $left{ begin{array}{l}
cot x < 0\
cos x > 0
end{array} right..$
Ta có $2{{log }_{3}}left( cot x right)={{log }_{2}}left( cos x right)Leftrightarrow {{log }_{3}}left( {{cot }^{2}}x right)={{log }_{2}}left( cos x right)=t$
Suy ra $left{ begin{array}{l}
{cot ^2}x = {3^t}\
{cos ^2}x = {4^t}
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
frac{{{{cos }^2}x}}{{1 – {{cos }^2}x}} = {3^t}\
{cos ^2}x = {4^t}
end{array} right. Leftrightarrow frac{{{4^t}}}{{1 – {4^t}}} = {3^t} Leftrightarrow {4^t} + {12^t} – {3^t} = 0 Leftrightarrow {left( {frac{4}{3}} right)^t} + {4^t} – 1 = 0$
Xét hàm số $fleft( t right)={{left( dfrac{4}{3} right)}^{t}}+{{4}^{t}}-1$ trên $mathbb{R},$ có $f’left( t right)={{left( dfrac{4}{3} right)}^{t}}.ln dfrac{4}{3}+{{4}^{t}}.ln 4>0,forall tin mathbb{R}$
$Rightarrow ,,fleft( t right)$ là hàm số đồng biến trên $mathbb{R}$ mà $fleft( -1 right)=0Rightarrow t=-1Rightarrow cos x=dfrac{1}{2}Rightarrow x=dfrac{pi }{3}+k2pi $
Kết hợp với điều kiện $xin left( 0;2018pi right)Rightarrow -dfrac{1}{6}<k<1008,83xrightarrow{kin mathbb{Z}}$ có 1009 nghiệm.
