Câu 1: Đáp án A.
Vì $-1le cos xle 1text{ }forall x$ nên điều kiện: $cos xne 1Leftrightarrow xne k2pi $
Câu 2: Đáp án D.
Chọn D vì có nghiệm $x=dfrac{pi }{4}$ và $x=dfrac{3pi }{4}in left( 0;pi right)$
Câu 3: Đáp án A.
Điều kiện: $xne kdfrac{pi }{2}$
Phương trình $Leftrightarrow sqrt{2}left( sin x+cos x right)=dfrac{sin x}{cos x}+dfrac{cos x}{sin x}$
$Leftrightarrow sqrt{2}left( sin x+cos x right)=dfrac{1}{sinx.cos x}$
Đặt $sin x+cos x=t,left| t right|le sqrt{2}Rightarrow sin x.cos x=dfrac{{{t}^{2}}-1}{2}$
Ta có phương trình: $sqrt{2}t=dfrac{2}{{{t}^{2}}-1}Leftrightarrow left( t-sqrt{2} right)left( {{t}^{2}}+sqrt{2}t+1 right)=0Leftrightarrow t=sqrt{2}$
$Rightarrow cos left( x-dfrac{pi }{4} right)=1Leftrightarrow x=dfrac{pi }{4}+k2pi $
Vì $0<x<1000Rightarrow 0<dfrac{pi }{4}+k2pi <1000$
$Leftrightarrow -dfrac{pi }{4}<k2pi <1000-dfrac{pi }{4}Leftrightarrow -dfrac{1}{8}<k<dfrac{500}{pi }-dfrac{1}{8}$
Vì $kin mathbb{Z}Rightarrow k=0;1;2;…;159$
Tổng $S=dfrac{pi }{4}+left( dfrac{pi }{4}+2pi right)+left( dfrac{pi }{4}+4pi right)+ldots +left( dfrac{pi }{4}+320pi right)$
$=160.dfrac{pi }{4}+left( 2pi +4pi +…+320pi right)=40pi +dfrac{2pi left[ 1-{{left( 2pi right)}^{159}} right]}{1-2pi }$
$=40pi +dfrac{2pi -{{left( 2pi right)}^{160}}}{1-2pi }=40pi +dfrac{{{left( 2pi right)}^{160}}-2pi }{2pi -1}$
Câu 4: Đáp án A.
Xếp 6 học sinh có 6! cách xếp.
Xếp 2 thầy giáo vào 2 trong 7 vị trí xen kẽ giữa các học sinh có $A_{7}^{2}.$
Vậy có $6!A_{7}^{2}=30240$ (cách xếp)
Câu 5: Đáp án B.
Giải phương trình: $C_{n+1}^{2}+2C_{n+2}^{2}+2C_{n+3}^{2}+C_{n+4}^{2}=149.$
Điều kiện: $nge 3$
Phương trình $Leftrightarrow dfrac{left( n+1 right)!}{2!left( n-1 right)!}+2.dfrac{left( n+2 right)!}{2!n!}+2.dfrac{left( n+3 right)!}{2!left( n-1 right)!}+dfrac{left( n+4 right)!}{2!left( n+2 right)!}=149$
$ Leftrightarrow {n^2} + 4n – 45 = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
n = 5\
n = – 9
end{array} right.$
Vậy $A = frac{{A_6^4 + 3A_5^3}}{{6!}} = frac{3}{4}.$
Câu 6: Đáp án C.
Ta có: $left{ begin{array}{l}
{u_1} = 123\
{u_3} – {u_{15}} = 18
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
{u_1} = 123\
left( {{u_1} + 2d} right) – left( {{u_1} + 14d} right) = 84
end{array} right.$
Giải hệ tìm${{u}_{1}},d$ sau đó tính ${{u}_{17}}={{u}_{1}}+16d$ được ${{u}_{17}}=11.$
Câu 7: Đáp án C.
Từ giả thiết ta có:
$left{ begin{array}{l}
{u_1} = 24\
{u_{24}} = 16384{u_{11}}
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
{u_1} = 24\
{u_1}.{q^3} = 16384{u_1}.{q^{10}}
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
{u_1} = 24\
{q^7} = frac{1}{{16384}}
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
{u_1} = 24\
q = frac{1}{4}
end{array} right.$
$ Rightarrow {u_{17}} = {u_1}.{q^{16}} = 24.{left( {frac{1}{4}} right)^{16}} = frac{3}{{536870912}}$
Câu 8: Đáp án B.
Hệ số góc của tiếp tuyến song song với trục hoành nên $k=0.$ Khảo sát hàm số đã cho thấy có một cực trị nên có 1 tiếp tuyến song song với trục hoành.
Câu 9: Đáp án D.
Câu 10: Đáp án C.
Câu 11: Đáp án C.
Gọi K là trung điểm $ACRightarrow Delta OKM$ đều $Rightarrow left( widehat{OM,AB} right)=left( widehat{OM,MK} right)={{60}^{o}}$
Câu 12: Đáp án D.
$underset{xto infty }{mathop{lim }},left( sqrt{4{{x}^{2}}+3x+1}-2x right)=underset{xto infty }{mathop{lim }},dfrac{4{{x}^{2}}+3x+1-4{{x}^{2}}}{sqrt{4{{x}^{2}}+3x+1}+2x}$
$underset{xto infty }{mathop{=lim }},dfrac{3x+1}{sqrt{4{{x}^{2}}+3x+1}+2x}=underset{xto infty }{mathop{lim }},dfrac{3+dfrac{1}{x}}{sqrt{4+dfrac{3}{x}+dfrac{1}{{{x}^{2}}}}+2}=dfrac{3}{4}$
Câu 13: Đáp án A.
$y’=2xleft( 6-{{x}^{2}} right)+{{x}^{2}}left( -2x right)=12x-2{{x}^{3}}-2{{x}^{3}}=-4{{x}^{3}}+12x=-4xleft( {{x}^{2}}-3 right)$
$y’ = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = 0\
x = pm sqrt 3
end{array} right.$
Lập bảng biến thiên:
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $left( -infty ;-sqrt{3} right)$ và $left( 0;sqrt{3} right)$
Câu 14: Đáp án C.
+ Ta có: $underset{xto infty }{mathop{lim }},dfrac{1-2x}{sqrt{{{x}^{2}}+1}}=underset{xto infty }{mathop{lim }},dfrac{dfrac{1}{x}-2}{sqrt{1+dfrac{1}{{{x}^{2}}}}}=-2Rightarrow y=-2$ là tiệm cận ngang.
+ $underset{xto infty }{mathop{lim }},dfrac{1-2x}{sqrt{{{x}^{2}}+1}}=underset{xto infty }{mathop{lim }},dfrac{dfrac{1}{x}-2}{-sqrt{1+dfrac{1}{{{x}^{2}}}}}=2Rightarrow y=2$ là tiệm cận ngang.
+ Đồ thị không có tiệm cận đứng vì ${{x}^{2}}+1=0$ vô nghiệm.
Câu 15: Đáp án B.
Ta có $y’ = 4{x^3} – 4mx = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = 0\
{x^2} = m
end{array} right.$
Để có 3 điểm cực trị thì phương trình $y’=0$ có 3 nghiệm phân biệt $Rightarrow m>0$
Khi đó có 3 điểm đó là: $Aleft( 0;2{{m}^{2}}-1 right),Bleft( sqrt{m};{{m}^{2}}-1 right),Cleft( -sqrt{m};{{m}^{2}}-1 right)$
Do tính đối xứng của đồ thị nên $AB=AC,$ từ đó tam giác ABC vuông tại A
$ Leftrightarrow overrightarrow {AB.} overrightarrow {AC} = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
m = 0left( l right)\
m = 1
end{array} right.$
Câu 16: Đáp án D.
Vì số nghiệm của phương trình $fleft( x right)=0$ bằng số giao điểm của đồ thị hàm số $y=fleft( x right)$ với trục hoành (vẽ đồ thị ta thấy nó cắt trục hoành tại 3 điểm)
Câu 17: Đáp án A.
$y’ = 4{x^3} – 4x = 4xleft( {{x^2} – 1} right) Rightarrow y’ = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = 0\
x = pm 1
end{array} right.$
$yleft( 0 right) = 0,yleft( { pm 1} right) = – 1 Rightarrow {y_{max }} = 0$
Câu 18: Đáp án D.
Xét hàm số $fleft( x right)=3{{x}^{4}}-4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+m$
Có $f’left( x right) = 12{x^3} – 12{x^2} – 24x = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = 0\
x = – 1\
x = 2
end{array} right.$
Lập bảng biến thiên $left{ begin{array}{l}
fleft( 0 right) > 0\
fleft( { – 1} right) < 0\
fleft( 2 right) < 0
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
m > 0\
– 5 + m < 0 Leftrightarrow 0 < m < 5\
– 32 + m < 0
end{array} right.$
$Rightarrow $ Có 4 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bào toán
Câu 19: Đáp án A.
Lập bảng biến thiên của 4 đồ thị $y=gleft( x right)$ trong mỗi đáp án thì ta thấy chỉ có đáp án A thỏa mãn.
Câu 20: Đáp án B.
Ta có:$fleft( 1 right) – fleft( 0 right) = fleft( x right)left| {_{_0}^{^1}} right. = intlimits_0^1 {f’left( x right){rm{d}}x ge } intlimits_0^1 {left( {{x^2} + 1} right){rm{d}}x = left( {frac{{{x^3}}}{3} + x} right)left| begin{array}{l}
^1\
_0
end{array} right. = frac{1}{3} + 1} = frac{4}{3}$
$Rightarrow fleft( 1 right)ge dfrac{4}{3}+1=dfrac{7}{3}$
Câu 21: Đáp án C.
Ta có: $y’=2{{x}^{2}}+2left( m+1 right)x+{{m}^{2}}+4m+3$
Điều kiện: $left{ begin{array}{l}
Delta ‘ > 0\
S > 0\
P > 0
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
– {m^2} – 6m – 5 > 0\
– m – 1 > 0\
{m^2} + 4m + 3 > 0
end{array} right. Leftrightarrow – 5 < m < – 3$
Câu 22: Đáp án A.
$y=3{{x}^{2}}-6mx,y’=0Leftrightarrow x=0$ hoặc $x=2m$
Đồ thị hàm số có 2 cực trị $Leftrightarrow mne 0$
Đường thẳng qua 2 cực trị là $y=-2{{m}^{2}}x+2$ thỏa mãn yêu cầu
$Leftrightarrow Min dLeftrightarrow m=pm sqrt{2}$
Câu 23: Đáp án C.
Câu 24: Đáp án A.
Câu 25: Đáp án A.
Câu 26: Đáp án D.
Đặt $SH=x$, tính SB, SC theo x. Sau đó áp dụng định lí cosin cho $Delta SBC$
Tìm được $x=dfrac{asqrt{6}}{2}Rightarrow V=dfrac{{{a}^{3}}sqrt{2}}{8}$
Câu 27: Đáp án C.
Gọi $O=ACcap BDRightarrow widehat{SOH}={{60}^{o}},Delta ABD$ đều.
Tính $SH=OH.tan {{60}^{o}}$
Câu 28: Đáp án C.
Chú ý $Delta ABC$ đều cạnh $asqrt{3}$. Kẻ $OHbot ABRightarrow ABbot left( B’OH right)Rightarrow ABbot B’H$
$Rightarrow left( widehat{left( CDD’C’ right),left( ABCD right)} right)=left( widehat{left( ABB’A’ right),left( ABCD right)} right)=left( widehat{B’H,OH} right)=widehat{B’HO}$
$Rightarrow dfrac{1}{O{{H}^{2}}}=dfrac{1}{O{{A}^{2}}}+dfrac{1}{O{{B}^{2}}}=dfrac{16}{9{{a}^{2}}}Rightarrow OH=dfrac{3a}{4}$
$Rightarrow B’O=OH.tan widehat{B’HO}=dfrac{3asqrt{3}}{4}Rightarrow V=dfrac{27{{a}^{3}}}{8}$
Câu 29: Đáp án B.
Gọi r là bán kính của mặt cầu nối tiếp
$Rightarrow $ Diện tích xung quanh của mặt cầu là ${{S}_{xq}}=4pi {{r}^{2}}Rightarrow 4pi {{r}^{2}}=16pi Rightarrow r=2$
$Rightarrow $ Chiều cao của hình trụ là 4
$Rightarrow $ Diện tích của hình trụ là ${{S}_{xq}}=2pi rl=16pi $
Câu 30: Đáp án D.
Thỏa mãn đề bài suy ra hai vectơ $overrightarrow{u}$ và $overrightarrow{v}$phải cùng phương
$Rightarrow dfrac{3}{1}=dfrac{m}{7-2m}Rightarrow 21-6m=mLeftrightarrow 7m=21Leftrightarrow m=3$
Câu 31: Đáp án A.
Câu 32: Đáp án D.
$I=Delta cap left( P right)$ thì $Ileft( -3;1;1 right)$
Gọi $overrightarrow{u}=left( a;b;c right)$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$. Ta có:$left{ begin{array}{l}
d subset left( P right)\
d bot Delta
end{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l}
overrightarrow u bot overrightarrow {{n_p}} \
overrightarrow u bot overrightarrow {{n_Delta }}
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
– 3 + at + 2left( {1 + bt} right) – 3left( {1 + ct} right) + 4 = 0forall t\
a + b – c = 0
end{array} right.$
$left{ begin{array}{l}
a + 2b – 3c = 0\
a + b – c = 0
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
a = – c\
b = 2c
end{array} right. Rightarrow overrightarrow u = left( { – c;2c;c} right)$
hay $overrightarrow{u}=left( -1;2;1 right)$
Phương trình $d:frac{x+3}{-1}=frac{y-1}{2}=frac{z-1}{1}$
