Câu 1: Đáp án A.
Hàm số đồng biến trên các khoảng xác định $to y’=dfrac{ad-bc}{{{left( cx+d right)}^{2}}}>0text{ }forall text{x}ne -dfrac{d}{c}to ad-bc>0.$
Câu 2: Đáp án C.
Do $dfrac{e}{2}>1$nên hàm số $y={{log }_{dfrac{e}{2}}}x$đồng biến trên (0;+∞).
Câu 3: Đáp án D.
Câu 4: Đáp án D.
Câu 5: Đáp án A.
Câu 6: Đáp án C.
Câu 7: Đáp án C.
Câu 8: Đáp án B.
Hàm số có điểm cực tiểu $x = frac{2}{3} Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
y’left( {frac{2}{3}} right) = 3m.{left( {frac{2}{3}} right)^2} – 2m.frac{2}{3} = 0\
y”left( {frac{2}{3}} right) = 6m.frac{2}{3} – 2m > 0
end{array} right. Leftrightarrow m > 0$
Câu 9: Đáp án C.
Câu 10: Đáp án A.
$fleft( x right)=x{{.5}^{x}}to f’left( x right)={{5}^{x}}+x{{.5}^{x}}ln 5to {{25}^{x}}+{{5}^{x}}+x{{.5}^{x}}ln 5-x{{.5}^{x}}ln 5-2=0Leftrightarrow {{left( {{5}^{x}} right)}^{2}}+{{5}^{x}}-2=0Leftrightarrow {{5}^{x}}=1Leftrightarrow x=0.$
Câu 11: Đáp án A.
Hàm số xác định $Leftrightarrow {{log }_{9}}dfrac{2x}{x+1}-dfrac{1}{2}>0Leftrightarrow dfrac{2x}{x+1}>3Leftrightarrow dfrac{x+3}{x+1}<0Leftrightarrow -3<x<-1.$
Câu 12: Đáp án B.
$ to overrightarrow {MM’} = vec v to left{ begin{array}{l}
a – 1 = 2\
b + 2 = – 3
end{array} right. to left{ begin{array}{l}
a = 3\
b = – 5
end{array} right. to T = a + b = – 2.$
Câu 13: Đáp án C.
$Fleft( x right)=int{{{sin }^{2}}2xdx}=int{left( dfrac{1}{2}-dfrac{1}{2}cos 4x right)dx}=dfrac{x}{2}-dfrac{1}{8}sin 4x+C.$
Câu 14: Đáp án D.
$to intlimits_{1}^{4}{f’left( x right)dx}=fleft( 4 right)-fleft( 1 right)to fleft( 4 right)-12=17to fleft( 4 right)=29.$
Câu 15: Đáp án D.
${{left( 1+i right)}^{100}}={{left[ {{left( 1+i right)}^{2}} right]}^{50}}={{left( 2i right)}^{50}}={{2}^{50}}.{{left( {{i}^{4}} right)}^{12}}.{{i}^{2}}=-{{2}^{50}}.$
Câu 16: Đáp án B.
${{S}_{xq}}=pi rl=pi rsqrt{{{r}^{2}}+{{h}^{2}}}=pi .dfrac{a}{2}.sqrt{dfrac{{{a}^{2}}}{4}+{{h}^{2}}}=dfrac{pi asqrt{{{a}^{2}}+4{{h}^{2}}}}{4}.$
Câu 17: Đáp án D.
|
|
Gọi M là trung điểm của BC. ${{S}_{A’BC}}=dfrac{1}{2}A’M.BCto dfrac{1}{2}A’M.4=8to A’M=4$ $AM=dfrac{4sqrt{3}}{2}=2sqrt{3}to AA’=sqrt{A'{{M}^{2}}-A{{M}^{2}}}=2$ $to {{V}_{ABC.A’B’C’}}=AA’.{{S}_{ABC}}=2.dfrac{{{4}^{2}}sqrt{3}}{4}=8sqrt{3}$ .
|
Câu 18: Đáp án A.
$left{ begin{array}{l}
left( R right) bot left( P right)\
left( R right) bot left( Q right)
end{array} right. to {vec n_{left( R right)}} = left[ {{{vec n}_{left( P right)}};{{vec n}_{left( Q right)}}} right] = left( {1;3;5} right) to left( R right):x + 3y + 5z + 5 = 0.$
Câu 19: Đáp án C.
PQ lớn nhất $Leftrightarrow $PQ là đường kính của (S) → PQ đi qua M và tâm I(1;-1;2) của (S).
$to {{vec{u}}_{PQ}}=overrightarrow{IM}=left( 1;1;-1 right)$→ loại A và D. PQ đi qua M → đáp án C.
Câu 20: Đáp án C.
|
– Lấy đối xứng phần đồ thị hàm số y = f(x) nằm phía dưới trục hoành lên phía trên trục hoành ta được đồ thị hàm số y = |f(x)| (như hình bên). – Số nghiệm của phương trình |f(x)| = m là số giao điểm của đồ thị hàm số y = |f(x)| với đường thẳng y = m. Phương trình |f(x)| = m có 6 nghiệm thực phân biệt $Leftrightarrow 1<m<2.$ |
|
Câu 21: Đáp án C.
$underset{xto +infty }{mathop{lim }},y=dfrac{1+dfrac{1}{x}}{sqrt{{{m}^{2}}-dfrac{m+2}{{{x}^{2}}}}}=dfrac{1}{left| {{m}^{2}} right|};underset{xto -infty }{mathop{lim }},=dfrac{1+dfrac{1}{x}}{-sqrt{{{m}^{2}}-dfrac{m+2}{{{x}^{2}}}}}=dfrac{-1}{left| {{m}^{2}} right|}to mne 0$
Hàm số có 4 đường tiệm cận $Leftrightarrow $m2x2 – m – 2 có 2 nghiệm phân biệt khác – 1
$ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
m ne 0\
m + 2 > 0\
{m^2} – m – 2 ne 0
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
m notin left{ {0; – 1;2} right}\
m > – 2
end{array} right.$
Câu 22: Đáp án B.
$y = – {x^3} + 3left( {m – 3} right){x^2} – 3left( {{m^2} – 6m} right)x + 1 to y’ = – 3{x^2} + 6left( {m – 3} right)x – 3left( {{m^2} – 6m} right) = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = m\
x = m – 6
end{array} right.$
→ Hàm số đồng biến trên (m – 6;m)
→ Hàm số đồng biến trên (1;2) $ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
m – 6 le 1\
m ge 2
end{array} right. Leftrightarrow 2 le m le 7m in left{ {2;3;4;5;6;7} right}.$
Câu 23: Đáp án A.
$y=left( m+2 right){{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+mx-5to y’=3left( m+2 right){{x}^{2}}+6x+m$
Hàm số đã cho có điểm cực đại và điểm cực tiểu đều có hoành độ dương
$Leftrightarrow $y’ có 2 nghiệm dương phân biệt
$ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
m + 2 ne 0\
Delta ‘ = 9 – 3mleft( {m + 2} right) > 0\
S = – frac{2}{{m + 2}} > 0\
P = frac{m}{{3left( {m + 2} right)}} > 0
end{array} right. Leftrightarrow – 3 < m < – 2.$
Câu 24: Đáp án B.
${{3.2}^{x}}+{{4.3}^{x}}+{{5.4}^{x}}={{6.5}^{x}}Leftrightarrow fleft( x right)=3.{{left( dfrac{2}{5} right)}^{x}}+4.{{left( dfrac{3}{5} right)}^{x}}+5.{{left( dfrac{4}{5} right)}^{x}}-6=0$
Hàm số f(x) liên tục và nghịch biến trên R → f(x) có nhiều nhất 1 nghiệm.
Mặt khác, f(1).f(2) < 0 nên f(x) có ít nhất 1 nghiệm thuộc (1;2).
→ f(x) có 1 nghiệm → phương trình đã cho có 1 nghiệm.
Câu 25: Đáp án C.
$2log left( a+b right)=log {{left( a+b right)}^{2}}=log left( 100ab right)=2+log a+log bto log left( a+b right)=1+dfrac{log a+log b}{2}$
$log left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} right)=log left( 98ab right)=log 98+log a+log b$
$2log dfrac{a+b}{10}=log dfrac{{{left( a+b right)}^{2}}}{100}=log dfrac{100ab}{100}=log a+log b.$
Câu 26: Đáp án C.
${{log }_{2017}}left( 1-{{x}^{2}} right)+{{log }_{dfrac{1}{2017}}}left( x+m-4 right)=0Leftrightarrow {{log }_{2017}}left( 1-{{x}^{2}} right)={{log }_{2017}}left( x+m-4 right)$
$ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
1 – {x^2} > 0\
1 – {x^2} = x + m – 4
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
– 1 < x < 1\
fleft( x right) = {x^2} + x + m – 5 = 0{rm{ }}left( 1 right)
end{array} right.$
Phương trình đã cho có 2 nghiệm thực phân biệt $Leftrightarrow $(1) có 2 nghiệm thực phân biệt thỏa mãn -1 < x1 < x2 < 1
$ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
Delta > 0\
1fleft( { – 1} right) > 0\
1fleft( 1 right) > 0\
– 1 < frac{S}{2} = – frac{1}{2} < 1
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
21 – 4m > 0\
m – 5 > 0\
m – 3 > 0
end{array} right. Leftrightarrow 5 < m < frac{{21}}{4}.$
Câu 27: Đáp án C.
$msqrt{{{x}^{2}}+6}<x+mLeftrightarrow m<dfrac{x}{sqrt{{{x}^{2}}+6}-1}text{=f}left( x right)text{ }left( sqrt{{{x}^{2}}+6}ge sqrt{6}>1 right)$
$f’left( x right)=dfrac{6-sqrt{{{x}^{2}}+6}}{sqrt{{{x}^{2}}+6}{{left( sqrt{{{x}^{2}}+6}-1 right)}^{2}}}=0Leftrightarrow x=pm sqrt{30}$
$underset{xto +infty }{mathop{lim }},fleft( x right)=1;underset{xto -infty }{mathop{lim }},fleft( x right)=-1;fleft( sqrt{30} right)=dfrac{sqrt{30}}{5};fleft( -sqrt{30} right)=-dfrac{sqrt{30}}{5}xrightarrow{BBT}-dfrac{sqrt{30}}{5}le fleft( x right)le dfrac{sqrt{30}}{5}$
Bất phương trình nghiệm đúng với mọi m $Leftrightarrow m<-dfrac{sqrt{30}}{5}to S=left( -infty ;-dfrac{sqrt{30}}{5} right).$
Câu 28: Đáp án B.
$I=intlimits_{0}^{2}{left( x-1 right)left( 2{{x}^{2}}-x right){{e}^{{{x}^{2}}-x}}dx}=intlimits_{0}^{2}{left( {{x}^{2}}-x right)left( 2x-1 right).{{e}^{{{x}^{2}}-x}}dx}=intlimits_{0}^{2}{left( {{x}^{2}}-x right).{{e}^{{{x}^{2}}-2}}dleft( {{x}^{2}}-x right)}$
$I=intlimits_{0}^{2}{{{e}^{{{x}^{2}}-x}}left( {{x}^{2}}-x-1 right)}={{e}^{2}}+1to a=b=1to a-b=0.$
Câu 29: Đáp án D.
$ to S = intlimits_0^2 {left( {2 – x} right)ln left( {x + 1} right)dx} $ $ to left{ begin{array}{l}
u = ln left( {x + 1} right)\
dv = left( {2 – x} right)dx
end{array} right. to left{ begin{array}{l}
du = frac{1}{{x + 1}}dx\
v = 2x – frac{{{x^2}}}{2}
end{array} right.$
$ to S = left. {left( {2x – frac{{{x^2}}}{2}} right)ln left( {x + 1} right)} right|_0^2 – intlimits_0^2 {frac{{4x – {x^2}}}{{2left( {x + 1} right)}}dx} $
$ to S = 2ln 3 + intlimits_0^2 {left( {frac{x}{2} – frac{5}{2} + frac{5}{{2left( {x + 1} right)}}} right)dx} = 2ln 3 + left. {left( {frac{{{x^2}}}{4} – frac{5}{2}x + frac{5}{2}ln left| {x + 1} right|} right)} right|_0^2$
$ to S = frac{9}{2}ln 3 – 4.$
Câu 30: Đáp án C.
$z = a + bi{rm{ }}left( {a;b in R} right) to left( {2 – 3i} right)left( {a + bi} right) + 3left( {a – bi} right) = 8 – 4i$
$ Leftrightarrow left( {5a + 3b} right) – left( {3a + b} right)i = 8 – 4i Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
5a + 3b = 8\
3a + b = 4
end{array} right. to a = b = 1 to z = 1 + i$
$ to {left( {1 + i} right)^{2017}} = {left[ {{{left( {1 + i} right)}^2}} right]^{1008}}.left( {1 + i} right) = {left( {2i} right)^{1008}}left( {1 + i} right) = {2^{1008}} + {2^{1008}}i to left| {{{left( {1 + i} right)}^{2017}}} right| = {2^{1008}}sqrt 2 .$
Câu 31: Đáp án B.
${z^3} – 3{z^2} + 12z – 10 = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
z = 1\
z = 1 pm 3i
end{array} right. to {z_0} = 1 – 3i to {rm{w}} = i{z_0} = 3 + i to Nleft( {3;1} right).$
Câu 32: Đáp án C.
|
|
M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD $to SMbot AB;SNbot CD;$AB // CD $to left( left( SAB right);left( SCD right) right)=left( SM;SN right)$ $to widehat{MSN}={{90}^{0}}to S{{M}^{2}}+S{{N}^{2}}=M{{N}^{2}}={{a}^{2}}$ ${{S}_{SAB}}+{{S}_{SCD}}=dfrac{1}{2}.a.left( SM+SN right)=dfrac{17}{26}{{a}^{2}}to SM+SN=dfrac{17}{13}a$ $to SM.SN=dfrac{{{left( SM+SN right)}^{2}}-left( S{{M}^{2}}+S{{N}^{2}} right)}{2}=dfrac{60}{169}$ Kẻ $SHbot MNto SHbot left( ABCD right)to {{h}_{S.ABCD}}=SH$ $to dfrac{1}{S{{H}^{2}}}=dfrac{1}{S{{M}^{2}}}+dfrac{1}{S{{N}^{2}}}=dfrac{S{{M}^{2}}+S{{N}^{2}}}{{{left( SM.SN right)}^{2}}}to SH=dfrac{60}{169}a$ $to {{V}_{S.ABCD}}=dfrac{1}{3}SH.{{S}_{ABCD}}=dfrac{1}{3}.dfrac{60}{169}a.{{a}^{2}}=dfrac{20}{169}{{a}^{3}}.$ |
Câu 33: Đáp án B.
$dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=dfrac{pi AB.A{{D}^{2}}}{pi AD.A{{B}^{2}}}=dfrac{AD}{AB}=dfrac{1}{2}.$
Câu 34: Đáp án A.
|
|
Gọi CD = a (0 < a ≤ 1); AM và BN lần lượt là đường cao của tam giác ACD và BCD; AH là chiều cao tứ diện ABCD. $xrightarrow{Pytago}AMle sqrt{1-dfrac{{{a}^{2}}}{4}};BNle sqrt{1-dfrac{{{a}^{2}}}{4}}to AHle AMle sqrt{1-dfrac{{{a}^{2}}}{4}}$ $to {{V}_{S.ABCD}}=dfrac{1}{3}.AH.{{S}_{BCD}}=dfrac{1}{3}AH.dfrac{1}{2}BN.CDle dfrac{4a-{{a}^{3}}}{24}$ Xét hàm số f(a) = 4a – a3 trên (0;1] $to f’left( a right)=4-3{{a}^{2}}>0text{ }forall ain (0;1]$ $to f{{left( a right)}_{max }}=fleft( 1 right)=3to {{V}_{max }}=dfrac{1}{8}$ ${{V}_{max }}Leftrightarrow $AC = CD = AD = BC = BD = 1; 2 mặt phẳng (ACD) và (BCD) vuông góc với nhau. Khi đó $AB=dfrac{sqrt{6}}{2}.$ |
Câu 35: Đáp án C.
(α) // (P) nên phương trình của (α) có dạng: 2x – y + 2z + m = 0 (m ≠ 2).
${d_{A/left( alpha right)}} = frac{{left| {m + 4} right|}}{3} = 2 to left[ begin{array}{l}
m = 2\
m = – 10
end{array} right. to m = – 10 to a + b + c = – 1 + 2 – 10 = – 9.$
Câu 36: Đáp án B.
$2{sin ^2}x + cos 2x + sin 2x + a = 2asin x + cos x + 1$
$ Leftrightarrow 2sin xcos x + a – 2asin x – cos x = 0$
$ Leftrightarrow left( {cos x – a} right)left( {2sin x – 1} right) = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
cos x = a\
sin x = frac{1}{2}
end{array} right.$
$bsin 2x + sqrt 2 = 2cos x + bsqrt 2 sin x$
$ Leftrightarrow 2bsin xcos x + sqrt 2 – 2cos x – bsqrt 2 sin x = 0$
$ Leftrightarrow left( {bsin x – 1} right)left( {2cos x – sqrt 2 } right) = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
bsin x = 1\
cos x = frac{{sqrt 2 }}{2}
end{array} right.$
Hai phương trình tương đương $ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
a = frac{{sqrt 2 }}{2}\
b = 2
end{array} right. to T = ab = sqrt 2 .$
