Câu 38: Đáp án C
Với ${{z}_{0}}ne 0$ ta có $z_{0}^{2}+z_{1}^{2}={{z}_{0}}{{z}_{1}}Rightarrow z_{1}^{2}={{z}_{0}}left( {{z}_{1}}-{{z}_{0}} right)$
$Rightarrow {{left| {{z}_{1}} right|}^{2}}=left| {{z}_{0}} right|left| {{z}_{1}}-{{z}_{0}} right|Rightarrow left| {{z}_{1}}-{{z}_{0}} right|=dfrac{{{left| {{z}_{1}} right|}^{2}}}{left| {{z}_{0}} right|}$(1)
Với ${{z}_{1}}ne 0$, ta có $z_{0}^{2}+z_{1}^{2}={{z}_{0}}{{z}_{1}}Rightarrow z_{1}^{2}={{z}_{0}}left( {{z}_{1}}-{{z}_{0}} right)$
$Rightarrow {{left| {{z}_{0}} right|}^{2}}=left| {{z}_{1}} right|left| {{z}_{0}}-{{z}_{1}} right|Rightarrow left| {{z}_{0}}-{{z}_{1}} right|=dfrac{{{left| {{z}_{0}} right|}^{2}}}{left| {{z}_{1}} right|}$(2)
Từ (1), (2), ta có $left| {{z}_{0}}-{{z}_{1}} right|=dfrac{{{left| {{z}_{1}} right|}^{2}}}{left| {{z}_{0}} right|}=dfrac{{{left| {{z}_{0}} right|}^{2}}}{left| {{z}_{1}} right|}$
$Rightarrow left| {{z}_{0}} right|=left| {{z}_{1}} right|=left| {{z}_{1}}-{{z}_{0}} right|Rightarrow OA=OB=ABRightarrow OAB$ là tam giác đều.
Câu 39: Đáp án B
${f}’left( x right)=-3{{text{x}}^{2}}+4text{x}-9+left( cos x-2 right)<0,forall xin mathbb{R}$.
Suy ra hàm số đã cho nghịch biến trên $mathbb{R}$.
Do đó $u<vRightarrow u<3vlog eRightarrow fleft( u right)>fleft( 3vlog e right)$.
Câu 40: Đáp án D
Đặt $t=ln text{x}Rightarrow tin left( 0;1 right)$. Từ yêu cầu bài toán có
$f’left( t right) = frac{{4 – 2m}}{{{{left( {t – 2m} right)}^2}}} > 0,forall t in left( {0;1} right) Rightarrow left{ begin{array}{l}
m < 2\
left[ begin{array}{l}
2m le 0\
2m ge 1
end{array} right.
end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
m le 0\
frac{1}{2} le m < 2
end{array} right.$
Vì $min {{mathbb{Z}}^{+}}Rightarrow m=1.$
Câu 41: Đáp án A
$Min dRightarrow Mleft( 2t+1;-t-2;2t+3 right)$.
Phương trình mp $left( ABC right)$ là: $x+2y-2text{z}-2=0$.
Diện tích tam giác ABC là: ${{S}_{ABC}}=dfrac{9}{2}$.
$V=3Rightarrow dfrac{1}{3}dleft( M,left( ABC right) right).{{S}_{ABC}}=3Rightarrow dleft( M,left( ABC right) right)=2Rightarrow t=-dfrac{5}{4}$ Hoặc $t=-dfrac{17}{4}$.
Câu 42: Đáp án B
Với mọi ${{x}_{0}}>0$, hàm số có đạo hàm liên tục trên khoảng $left( 0;{{x}_{0}} right)cup left( {{x}_{0}};+infty right)$
$f’left( x right) = left{ begin{array}{l}
frac{a}{{2sqrt x }},{rm{khi}},0 < x < {x_0}\
2x,{rm{khi}},x ge {x_0}
end{array} right.$
f liên tục tại ${{x}_{0}}Leftrightarrow underset{xto {{x}_{0}}^{-}}{mathop{lim }},fleft( x right)=underset{xto {{x}_{0}}^{+}}{mathop{lim }},fleft( x right)=fleft( {{x}_{0}} right)Leftrightarrow asqrt{{{x}_{0}}}={{x}_{0}}^{2}+12$ (1)
f có đạo hàm tại điểm ${{x}_{0}}Leftrightarrow underset{xto {{x}_{0}}^{-}}{mathop{lim }},dfrac{fleft( x right)-fleft( {{x}_{0}} right)}{x-{{x}_{0}}}=underset{xto {{x}_{0}}^{+}}{mathop{lim }},dfrac{fleft( x right)-fleft( {{x}_{0}} right)}{x-{{x}_{0}}}Leftrightarrow dfrac{a}{2sqrt{{{x}_{0}}}}=2{{text{x}}_{0}}$ (2)
Giải hệ (1) (2) được ${{x}_{0}}=2;,a=8sqrt{2}$. Dễ thấy khi đó đạo hàm ${f}’$ liên tục tại ${{x}_{0}}$; do đó ${f}’$liên tục trên $left( 0;+infty right)$.
Vậy $S={{x}_{0}}+a=2left( 1+4sqrt{2} right)$
Câu 43: Đáp án C
Gọi r là bán kính của đường tròn (T) theo giả thiết đường tròn (T) có chu vi bằng $4pi sqrt{3}$. Nên $4pi sqrt{3}=2pi text{r}Rightarrow text{r=2}sqrt{3}$. Mặt cầu (S) có tâm $Ileft( 1;-2;3 right)$ và bán kính $r=4$. Khoảng cách từ tâm I của mặt cầu (S) đến mặt phẳng (P) là:
$frac{{left| {2{{rm{x}}_1} + {y_1} – 2{{rm{z}}_1} + m} right|}}{3} = frac{{left| { – 6 + m} right|}}{3} = 2 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
m = 0\
m = 12
end{array} right.$
Câu 44: Đáp án D
Ta có $left{ begin{array}{l}
left( {SAB} right) bot left( {ABC{rm{D}}} right)\
left( {SA{rm{D}}} right) bot left( {ABC{rm{D}}} right)\
left( {SAB} right) cap left( {SA{rm{D}}} right) = SA
end{array} right. Rightarrow SA bot left( {ABC{rm{D}}} right)$
Ta có $SBbot text{S}C,,ABbot BCRightarrow left( left( SBC right),left( ABCtext{D} right) right)=SBA=30{}^circ Rightarrow SA=ABtan SBA=dfrac{2asqrt{3}}{3}$.
$V=dfrac{1}{3}{{left( 2a right)}^{2}}dfrac{2asqrt{3}}{3}=dfrac{8{{a}^{3}}sqrt{3}}{9}Rightarrow dfrac{3V}{{{a}^{3}}}=dfrac{8sqrt{3}}{3}$.
Câu 45: Đáp án B
Ta có $P=left| dfrac{z+i}{z} right|=left| 1+dfrac{i}{z} right|$ và $1-left| dfrac{i}{z} right|le left| 1+dfrac{i}{z} right|le 1+left| dfrac{i}{z} right|$ nên $1-dfrac{1}{left| z right|}le Ple 1+dfrac{1}{left| z right|}$
Do $left| z right|ge 2Rightarrow dfrac{1}{2}le 1-dfrac{1}{left| z right|}le Ple 1+dfrac{1}{left| z right|}le dfrac{3}{2}$
Từ đó $2M-m=2left( dfrac{3}{2} right)-dfrac{1}{2}=dfrac{5}{2}$.
Câu 46: Đáp án A
Kẻ $AHbot BC$, ta có
${{S}_{b}}=pi ca+pi {{c}^{2}}=pi cleft( a+c right),,{{S}_{c}}=pi bleft( a+b right)$
${{S}_{a}}=pi .AH.b+pi .AH.c=pi .AHleft( b+c right)=pi .dfrac{bc}{a}.left( b+c right)$
Vì $b<cRightarrow {{S}_{b}}<{{S}_{c}}$. Mặt khác $a>cRightarrow {{a}^{2}}>{{c}^{2}},,ab>bc$
$Rightarrow {{a}^{2}}+ab>bc+{{c}^{2}}Rightarrow {{S}_{c}}>{{S}_{a}}$. Vậy ${{S}_{b}}>{{S}_{c}}>{{S}_{a}}$.
Câu 47: Đáp án C
Gọi q là công bội của cấp số nhân đã cho.
$a+b+c+d+e=adfrac{{{q}^{5}}-1}{q-1}=40Rightarrow dfrac{{{q}^{5}}-1}{q-1}=dfrac{40}{a}$. (1)
Dễ thấy năm số $dfrac{1}{a},dfrac{1}{b},dfrac{1}{c},dfrac{1}{d},dfrac{1}{e}$ tạo thành cấp số nhân theo thứ tự đó với công bội $dfrac{1}{q}$. Từ giả thiết ta có $10=dfrac{{{q}^{5}}-1}{a{{q}^{4}}left( q-1 right)}Rightarrow dfrac{{{q}^{5}}-1}{q-1}=10text{a}{{q}^{4}}$. (2)
Từ (1) (2) suy ra: $a{{q}^{2}}=pm 2$. Lai có $S={{a}^{5}}{{q}^{10}}Rightarrow left| S right|=32$.
Câu 48: Đáp án D
PT $Leftrightarrow 2sin 2x+acos 2x=2-2a.$
Phương trình có nghiệm $Leftrightarrow {{2}^{2}}+{{a}^{2}}ge {{left( 2-2text{a} right)}^{2}}Leftrightarrow 3{{text{a}}^{2}}-8text{a}le 0Leftrightarrow 0le ale dfrac{8}{2}$.
Câu 49: Đáp án B
${{u}_{k}}={{u}_{k-1}}+4left( k-1 right)+3={{u}_{k-2}}+4left( k-2 right)+4left( k-1 right)+2.3=…$
$={{u}_{1}}+4left( 1+2+…+k-1 right)+3left( k-1 right)=left( 2k+3 right)left( k-1 right)$
$Rightarrow lim dfrac{sqrt{{{u}_{kn}}}}{n}=lim dfrac{sqrt{left( 2km+3 right)left( kn-1 right)}}{n}=ksqrt{2}$. Do đó
$dfrac{{{a}^{2019}}+b}{c}=lim dfrac{sqrt{{{u}_{n}}}+sqrt{{{u}_{4n}}}+sqrt{{{u}_{{{4}^{2}}n}}}+…+sqrt{{{u}_{{{4}^{2018}}n}}}}{sqrt{{{u}_{n}}}+sqrt{{{u}_{2n}}}+sqrt{{{u}_{{{2}^{2}}n}}}+…+sqrt{{{u}_{{{2}^{2018}}n}}}}$
$=lim dfrac{sqrt{2}left( 1+4+{{4}^{2}}+…+{{4}^{2018}} right)}{sqrt{2}left( 1+2+{{2}^{2}}+…+{{2}^{2018}} right)}$
$=lim dfrac{dfrac{{{4}^{2019}}-1}{4-1}}{dfrac{{{2}^{2019}}-1}{2-1}}=dfrac{{{2}^{2019}}+1}{3}$
Từ đó $S=a+b-c=2+1-3=0$
Câu 50: Đáp án C
$fleft( x right)={F}’left( x right)=dfrac{4text{a}-b}{{{left( x+4 right)}^{2}}}=left( 4text{a}-b right){{left( x+4 right)}^{-2}}$
$Rightarrow {f}’left( x right)=-2left( 4text{a-b} right){{left( x+4 right)}^{-3}}=dfrac{-2left( 4text{a}-b right)}{{{left( x+4 right)}^{3}}}$
Ta có $2{{f}^{2}}left( x right)=left( Fleft( x right)-1 right){f}’left( x right)$
$Leftrightarrow dfrac{2{{left( 4a-b right)}^{2}}}{{{left( x+4 right)}^{4}}}=dfrac{-2left( 4text{a}-b right)left[ left( a-1 right)x+b-4 right]}{{{left( x+4 right)}^{4}}}$
$Leftrightarrow 4text{a}-b=-left( a-1 right)x-b+4$ (*) (do $xne -4,4text{a}-bne 0$).
Biểu thức (*) đúng với mọi $xne -4$ nên có $a=1,,bin mathbb{R}$.
Do $4a-bne 0$ nên $a=1,,b=mathbb{R}backslash left{ 4 right}$.
