Câu 1. Chọn C.
Hàm số $y=dfrac{4x+2}{{{x}^{2}}+2x+3}$ xác định khi: ${{x}^{2}}+2x+3={{left( x+1 right)}^{2}}+2>0$ với $forall xin R$. Vậy tập xác định là $R.$
Câu 2. Ta có: $underset{xto 1}{mathop{lim }},dfrac{4{{x}^{6}}-5{{x}^{2}}+x}{{{x}^{2}}-1}$$=underset{xto 1}{mathop{lim }},dfrac{xleft( x-1 right)left( 4{{x}^{4}}+4{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}+4x-1 right)}{x-1}=15.$
Suy ra |a| = 15, |b| =1 Þ A = 10. Chọn B.
Câu 3. Chọn C.
$y={{x}^{4}}-{{x}^{2}}+1$
$y’ = 4{x^3} – 2x = 2xleft( {2{x^2} – 1} right) Rightarrow y’ = 0 Leftrightarrow 2xleft( {2{x^2} – 1} right) = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = 0 Rightarrow y = 1\
x = pm frac{{sqrt 2 }}{2} Rightarrow y = frac{3}{4}
end{array} right.$
Vậy đồ thị có 3 điểm cực trị có tung độ dương.
Câu 4. YCBT
$ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
Delta ‘ > 0\
{x_1}{x_2} > 0\
{x_1} + {x_2} < 0
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
1 – 2m > 0\
1 > 0\
frac{{2left( {m – 1} right)}}{m} < 0
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
m < frac{1}{2}\
0 < m < 1
end{array} right. Leftrightarrow 0 < m < frac{1}{2}.$
Chọn C.
Câu 5. Chọn C.
$y={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-2$
Điểm cực trị là $Mleft( -2;2 right)$và $Nleft( 0;-2 right)$$Rightarrow {{y}_{CD}}=2;{{y}_{CT}}=-2$
Đường thẳng $d:y=m$ cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt $Leftrightarrow {{y}_{CT}}<m<{{y}_{CD}}Leftrightarrow -2<m<2$
Câu 6. Điều kiện $nge 2,nin mathbb{N}$
Ta có: $A_n^2 – C_{n + 1}^{n – 1} = 5 Leftrightarrow nleft( {n – 1} right) – frac{{left( {n + 1} right)n}}{2} = 5$
$Leftrightarrow {n^2} – 3n – 10 = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
n = – 2left( {loai} right)\
n = 5
end{array} right.$
Với n = 5 ta có: $P=x{{left( 1-2x right)}^{5}}+{{x}^{2}}{{left( 1+3x right)}^{10}}=xsumlimits_{k=0}^{5}{C_{5}^{k}{{left( -2x right)}^{k}}+{{x}^{2}}sumlimits_{l=0}^{10}{C_{10}^{l}}{{left( 3x right)}^{l}}}$
⇒ Số hạng chứa ${{x}^{5}}$ là $x.C_{5}^{1}.{{left( -2x right)}^{4}}+{{x}^{2}}.C_{10}^{7}{{left( 3x right)}^{3}}=left( 16.5+27.120 right){{x}^{5}}=3320{{x}^{5}}$
Vậy hệ số của ${{x}^{5}}$trong biểu thức P đã cho là 3320. Chọn B.
Câu 7. – Có $nleft( Omega right)=C_{20}^{5}C_{15}^{5}C_{10}^{5}C_{5}^{5}$ cách chia 20 bạn vào 4 nhóm, mỗi nhóm 5 bạn.
– Gọi A là biến cố “ 5 bạn nữ vào cùng một nhóm”
– Xét 5 bạn nữ thuộc nhóm A có $C_{15}^{5}C_{10}^{5}C_{5}^{5}$ cách chia các bạn nam vào các nhóm còn lại.
– Do vai trò các nhóm như nhau nên có $left| {{Omega }_{A}} right|=4C_{15}^{5}C_{10}^{5}C_{5}^{5}$
Khi đó $Pleft( A right)=dfrac{4}{C_{20}^{5}}$. Chọn A.
Câu 8. Chọn C. $y=dfrac{2{{x}^{2}}-3x+m}{x-m}$
Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng $Leftrightarrow $Nghiệm của mẫu cũng là nghiệm của tử.
Thay $x=m$ vào tử: $2{m^2} – 3m + m = 0 Leftrightarrow 2{m^2} – 2m = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
m = 0\
m = 1
end{array} right.$
Câu 9. Chọn C.
Vì: (3) dùng sai dấu hợp phải thay bằng chữ “và” ; (4) $Oleft( 0;0 right)$là điểm cực đại.
TXĐ: $D=mathbb{R}$
Sự biến thiên: ${y}’=3{{x}^{2}}-6x=3xleft( x-2 right)$
$y’ = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = 0\
x = 2
end{array} right.$
Hàm số đồng biến trên các khoảng $left( -infty ;0 right)$và $left( 2;+infty right)$
Hàm số nghịch biến trên khoảng $left( 0;2 right)$.
Hàm số đạt cực tiểu tại$x=2Rightarrow {{y}_{CT}}=-4$, cực đại tại $x=0Rightarrow {{y}_{CD}}=0$
Giới hạn $underset{xto +infty }{mathop{lim }},y=+infty ,underset{xto -infty }{mathop{lim }},y=-infty $
Câu 10. Chọn B.
1) ${{left( x-1 right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{left( z+1 right)}^{2}}=16$
2) ${{left( x+dfrac{1}{2} right)}^{2}}+{{left( y-2 right)}^{2}}+{{left( z-2 right)}^{2}}=dfrac{5}{4}$
3) ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=30pm 2sqrt{29}$
Chú ý đến tiếp xúc trong và tiếp xúc ngoài của 2 mặt cầu .
Câu 11. Chọn B.
Thể tích mỗi thỏi son: $V=pi {{r}^{2}}h=20,25pi Rightarrow h=dfrac{20,25}{{{r}^{2}}}$
Chi phí: $T=60000{{r}^{2}}+20000rh=60000{{r}^{2}}+dfrac{405000}{r}$
Xét hàm:
$begin{array}{l}
Tleft( r right) & = 60000{r^2} + frac{{405000}}{r}\
& = 60000{r^2} + frac{{202500}}{r} + frac{{202500}}{r} ge 3sqrt[3]{{60000{r^2}.frac{{202500}}{r}.frac{{202500}}{r}}} = 405000
end{array}$
Dấu “=” xảy ra khi $r=1,5Rightarrow h=9$
Vậy khi chi phí thấp nhất là 405000 đồngthì $r+h=10,5$.
Câu 12. Chọn A.
$K = frac{{sqrt[5]{{81}}.sqrt[5]{3}.sqrt[5]{9}.sqrt {12} }}{{{{left( {sqrt[3]{{sqrt 3 }}} right)}^2}.sqrt {18} sqrt[5]{{27}}.sqrt 6 }} = $ $frac{{{{left( {{3^4}} right)}^{frac{1}{5}}}{{.3}^{frac{1}{5}}}.{{left( {{3^2}} right)}^{frac{1}{5}}}.{{left( {{2^2}.3} right)}^{frac{1}{2}}}}}{{{{left{ {{{left[ {{{left( 3 right)}^{frac{1}{2}}}} right]}^{frac{1}{3}}}} right}}^2}.{{left( {{{2.3}^2}} right)}^{frac{1}{2}}}.{{left( {{3^3}} right)}^{frac{1}{5}}}.{{left( {2.3} right)}^{frac{1}{2}}}}} = frac{{{{2.3}^{frac{{19}}{{10}}}}}}{{{{2.3}^{frac{{73}}{{30}}}}}} = {3^{frac{{ – 8}}{{15}}}}.$
Câu 13. Chọn A.
ĐK: $left{ begin{array}{l}
x > 0\
{log _{sqrt 5 }}x – {log _5}left( {x + 2} right) < {log _{frac{1}{5}}}3
end{array} right.$
BPT trở thành: ${{log }_{5}}{{x}^{2}},-,{{log }_{5}}(x+2)<-,{{log }_{5}}3,Leftrightarrow ,{{log }_{5}},{{x}^{2}}+{{log }_{5}}3<{{log }_{5}}(x+2)$
$Leftrightarrow {{log }_{5}}3{{x}^{2}}<{{log }_{5}}left( x+2 right)Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-x-2<0,Leftrightarrow -dfrac{2}{3}<x<1$
Kết hợp điều kiện, BPT có nghiệm: $0<x<1$
Câu 14. Điều kiện: n $ge 2$
$2{P_n} + 6A_n^2 – {P_n}A_n^2 = 12 Leftrightarrow 2.n! + 6n(n – 1) – n(n – 1).n! = 12$
$ Leftrightarrow (n! – 6)({n^2} – n – 2) = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
n = 3\
n = 2\
n = – 1(loai)
end{array} right.$
Vậy a = 3, b = 2 (hoặc a = 2, b = 3). Chọn A.
Câu 15. Chọn A.
Điều kiện xác định: $2a+1ne 0Leftrightarrow ane -dfrac{1}{2}.$
Ta có: $left( 1 right)Leftrightarrow dfrac{1}{{{left( 2a+1 right)}^{3}}}>dfrac{1}{2a+1}Leftrightarrow dfrac{1-{{left( 2a+1 right)}^{2}}}{{{left( 2a+1 right)}^{3}}}>0Leftrightarrow dfrac{aleft( a+1 right)}{{{left( 2a+1 right)}^{3}}}<0$
Lập bảng xét dấu ta được: $left[ begin{array}{l}
– frac{1}{2} < a < 0\
a < – 1
end{array} right.$
Câu 16. Chọn D.
Ta có:$y’=dfrac{left( sqrt{2x-6}-1 right)’}{sqrt{2x-6}-1}=dfrac{1}{sqrt{2x-6}left( sqrt{2x-6}-1 right)}.$
Câu 17. Chọn D.
${{2}^{x-1}}-{{2}^{{{x}^{2}}-x}}={{(x-1)}^{2}}Leftrightarrow {{2}^{x-1}}+left( x-1 right)={{2}^{{{x}^{2}}-x}}+left( {{x}^{2}}-x right),,,,,,left( * right).$
Xét hàm số $fleft( t right)={{2}^{t}}+t$ trên $mathbb{R},$ ta có: $f’left( t right)={{2}^{t}}ln 2+1>0,forall tin mathbb{R}.$
Vậy hàm số $fleft( t right)$ đồng biến trên $mathbb{R}.$
Suy ra: $left( * right)Leftrightarrow fleft( x-1 right)=fleft( {{x}^{2}}-x right)Leftrightarrow x-1={{x}^{2}}-xLeftrightarrow {{left( x-1 right)}^{2}}=0Leftrightarrow x=1.$
Câu 18. Chọn C.
Điều kiện: $left{ begin{array}{l}
x,y > 0\
x,y ne 1
end{array} right..$
Khi đó:$left( I right) Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
3x + 2y = {x^2}left( 1 right)\
2x + 3y = {y^2}left( 2 right)
end{array} right.$
Trừ vế theo vế $left( 1 right)$cho $left( 2 right)$ta được: $x – y = {x^2} – {y^2} Leftrightarrow left( {x – y} right)left( {x + y – 1} right) = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
y = x\
y = 1 – x
end{array} right.$
Thay $y=x$ vào (1) ta được: $5x = {x^2} Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = 0left( L right)\
x = 5 Rightarrow y = 5
end{array} right. Rightarrow left( {x;y} right) = left( {5;5} right)$
Thay $y=1-x$ vào (1) ta được: $3x + 2left( {1 – x} right) = {x^2} Leftrightarrow {x^2} – x – 2 = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = 2 Rightarrow y = – 1left( L right)\
x = – 1left( L right)
end{array} right.$
Câu 19. Điều kiện: $left{ begin{array}{l}
{mathop{rm s}nolimits} {rm{inx}} ne {rm{0}}\
{rm{cosx}} ne {rm{0}}
end{array} right.left( * right)$ Suy ra:
$ Leftrightarrow frac{{{{sin }^4}x + {{cos }^4}x}}{{sin 2x}} = frac{1}{2}(frac{{sin x}}{{c{rm{osx}}}} + frac{{cos x}}{{{mathop{rm s}nolimits} {rm{inx}}}}) = frac{1}{{sin 2x}} Rightarrow {sin ^4}x + {cos ^4}x = 1$
$Leftrightarrow 1-frac{1}{2}{{sin }^{2}}2x=1Leftrightarrow sin 2x=0$. Nhưng lại không thỏa mãn điều kiện.
Vậy phương trình vô nghiệm.
Câu 20. Chọn D.
$Leftrightarrow left( 9-9sin x right)+6cos x-6sin xctext{osx}+1+cos 2x=0text{ }$$Leftrightarrow 9left( 1-sin x right)+6cos xleft( 1-sin x right)+2{{cos }^{2}}x=0$
$Leftrightarrow 9left( sin x-1 right)+6cos xleft( 1-sin x right)+2left( 1-{{sin }^{2}}x right)=0$
$begin{array}{l}
Leftrightarrow left( {1 – sin x} right)left[ {9 + 6cos x + 2left( {1 + sin x} right)} right] = 0\
Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
{mathop{rm s}nolimits} {rm{inx = 1}}\
{rm{6cosx + 2sinx = – 11}}
end{array} right. Rightarrow {rm{sinx = 1}} Leftrightarrow {rm{x = }}frac{pi }{2}{rm{ + k2}}pi left( {{rm{k}} in {rm{Z}}} right)
end{array}$
Vì:$text{6cosx + 2sinx = -11}$ vô nghiệm.
Câu 21. Chọn A.
Ta có: $I=intlimits_{0}^{1}{dfrac{3x}{{{(x+1)}^{2}}}dx}+2intlimits_{0}^{1}{dfrac{ln (3x+1)}{{{(x+1)}^{2}}}dx}$
Đặt$u=ln (3x+1)$$Rightarrow du=dfrac{3dx}{3x+1}$;$dv=dfrac{dx}{{{(x+1)}^{2}}}$$Rightarrow v=-dfrac{1}{x+1}$.
Áp dụng công thức tích phân từng phần ta có
$I=intlimits_{0}^{1}{dfrac{3x}{{{(x+1)}^{2}}}dx}-left. dfrac{2ln(3x+1)}{x+1} right|_{0}^{1}+6intlimits_{0}^{1}{dfrac{dx}{(3x+1)(x+1)}}$
$=intlimits_{0}^{1}{left( dfrac{3}{x+1}-dfrac{3}{{{(x+1)}^{2}}} right)dx}-ln 4+intlimits_{0}^{1}{left( dfrac{9}{3x+1}-dfrac{3}{x+1} right)dx}$
= $left. left( 3ln left| x+1 right|+dfrac{3}{x+1} right) right|_{0}^{1}-2ln 2+intlimits_{0}^{1}{left( dfrac{9}{3x+1}-dfrac{3}{x+1} right)dx}$
$ = – frac{3}{2} + ln 2 + intlimits_0^1 {left( {frac{9}{{3x + 1}} – frac{3}{{x + 1}}} right)dx} Rightarrow left{ begin{array}{l}
a = 9\
b = 3
end{array} right.$
Nháp:
$6intlimits_{0}^{1}{dfrac{dx}{(3x+1)(x+1)}}=6intlimits_{0}^{1}{left( dfrac{m}{3x+1}+dfrac{n}{x+1} right)dx}.$Tìm $m,n$. Ta có:$mleft( x+1 right)+nleft( 3x+1 right)=1$
$left{ begin{array}{l}
x = – 1 Rightarrow n = – frac{1}{2}\
x = 0 Rightarrow m + n = 1 Rightarrow m = frac{3}{2}
end{array} right.$
$ Rightarrow 6intlimits_0^1 {frac{{dx}}{{(3x + 1)(x + 1)}}} = 6intlimits_0^1 {left( {frac{3}{{2left( {3x + 1} right)}} – frac{1}{{2left( {x + 1} right)}}} right)dx} = intlimits_0^1 {left( {frac{9}{{3x + 1}} – frac{3}{{x + 1}}} right)dx} $
Câu 22. Chọn A.
Đặt $left{ begin{array}{l}
u = x – 2\
dv = sin 3{rm{xdx}}
end{array} right..$ Ta được $left{ begin{array}{l}
du = dx\
v = – frac{{cos 3x}}{3}
end{array} right.$
Do đó:
$I = – frac{{left( {x – 2} right)cos 3x}}{3} + frac{1}{3}int {cos 3xdx} = $ $ – frac{{left( {x – 2} right)cos 3x}}{3} + frac{1}{9}sin 3x + C Rightarrow a = 3;b = frac{1}{9} Rightarrow M = 6$
Câu 23. Chọn A.
Ta có: $fleft( x right)=left( x-2 right)left( {{x}^{2}}+2x+4 right)={{x}^{3}}-8$
$Rightarrow int{fleft( x right)dx=int{left( {{x}^{3}}-8 right)dx=dfrac{{{x}^{4}}}{4}}}-8x+C$
Câu 24. Chọn D.
Ta có: $fleft( x right)=dfrac{{{left( x+2 right)}^{2}}}{{{x}^{3}}}=dfrac{{{x}^{2}}+4x+4}{{{x}^{3}}}=dfrac{1}{x}+dfrac{4}{{{x}^{2}}}+dfrac{4}{{{x}^{3}}}$ $left( xne 0 right)$
$Rightarrow Fleft( x right)=int{fleft( x right)dx=int{dfrac{dx}{x}}+4}int{dfrac{dx}{{{x}^{2}}}}+4int{dfrac{dx}{{{x}^{3}}}}=ln left| x right|-dfrac{4}{x}-dfrac{2}{{{x}^{2}}}+C$.
Mà $Fleft( 1 right)=6Rightarrow C=12Rightarrow Fleft( x right)=ln left| x right|-dfrac{4}{x}-dfrac{2}{{{x}^{2}}}+12$
Câu 25. Chọn: Đáp án C
Thời gian vật đi đến lúc dừng hẳn là: $v=120-12t=0Rightarrow t=10$ (s)
Phương trình chuyển động của vật:
$S=int{vleft( t right)}dt=int{left( 120-12t right)dt=120t-6{{t}^{2}}}$ $left( 0le tle 10 right)$
Tổng quãng đường vật đi được là: ${{S}_{1}}=120.10-{{6.10}^{2}}=600left( m right)$
Sau 8s vật đi được: ${{S}_{2}}=120.8-{{6.8}^{2}}=576left( m right)$
Trong 2s trước khi dừng hẳn vật di chuyển được quãng đường là:
$S={{S}_{1}}-{{S}_{2}}=600-576=24left( m right)$
Câu 26. Phương trình $cos alpha (2{{sin }^{2}}alpha +sin alpha -3)=0$
$ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
cos alpha = 0\
2{sin ^2}alpha + sin alpha – 3 = 0
end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
cos alpha = 0\
left[ begin{array}{l}
sin alpha = 1\
sin alpha = – frac{3}{2}
end{array} right.
end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
cos alpha = 0\
sin alpha = 1
end{array} right.$
$Leftrightarrow cos alpha =0Leftrightarrow alpha =dfrac{pi }{2}+kpi ;(kin mathbb{Z})$
Vì $alpha in left( 0;dfrac{pi }{2} right]$ nên $0<dfrac{pi }{2}+kpi le dfrac{pi }{2}Leftrightarrow -dfrac{1}{2}<kle 0Rightarrow k=0(dotext{ k}in mathbb{Z}text{)}$
Suy ra $alpha text{=}dfrac{pi }{2}Rightarrow cot dfrac{alpha }{2}=cot dfrac{pi }{4}=1$
Vậy $cot dfrac{alpha }{2}=1$. Chọn D.
Câu 27. Chọn C.
– TXĐ:$2.cos x – sin x + 4 ne 0 Rightarrow x in R$
– Khi đó: $y.(2cos x – sin x + 4) = 2sin x + cos x + 3 Leftrightarrow (2y – 1)cos x – (y + 2)sin x = 3 – 4y(*)$
– Để (*) có nghiệm thì: ${(3 – 4y)^2} le {(2y – 1)^2} + {left[ { – (y + 2)} right]^2} Leftrightarrow frac{2}{{11}} le y le 2$
Câu 28. Chọn D.
$Mleft( -5;6 right),Nleft( -4;-1 right),Pleft( 4;3 right)$
Gọi $Hleft( x;y right)$ là trực tâm $Delta MNP$, ta có:
$overrightarrow{MH}=left( x+5;y-6 right)$; $overrightarrow{NP}=left( 8;4 right)$; $overrightarrow{NH}=left( x+4;y+1 right)$
$overrightarrow {MP} = left( {9; – 3} right)$ $ Rightarrow left{ begin{array}{l}
overrightarrow {MH} .overrightarrow {NP} = 0\
overrightarrow {NH} .overrightarrow {MP} = 0
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
8left( {x + 5} right) + 4left( {y – 6} right) = 0\
9left( {x + 4} right) – 3left( {y + 1} right) = 0
end{array} right. Rightarrow Hleft( { – 3;2} right)$
Câu 29. Chọn B.
a. y = sin2x
+) $fleft( x right)=sin 2text{x}$
Ta có: $text{f}left( -x right)=sin left( -2text{x} right)=-sin 2text{x}=-fleft( x right)$® Đây là hàm lẻ
b. y = 2cosx + 3
+) Đặt $fleft( x right)=2cotext{sx+3}$
Ta có: $text{f}left( -x right)=2ctext{os}left( -text{x} right)+3=2ctext{osx+3}=fleft( x right)$ ® Đây là hàm chẵn
c. y = sinx + cosx
+) Đặt $fleft( x right)=sin text{x+cosx}$
T a có: $text{f}left( -x right)=operatorname{s}text{in}left( -x right)+ctext{os}left( -x right)=-text{sinx+cosx}$ $ to left{ begin{array}{l}
fleft( { – x} right) ne fleft( x right)\
fleft( { – x} right) ne – fleft( x right)
end{array} right.$
d. y = tan2x + cotx
+) Đặt $fleft( x right)=tan 2text{x+cotx}$
Ta có: $text{f}left( -x right)=tan left( -2text{x} right)+cot left( -x right)=-tan 2text{x}-cot text{x}=-fleft( x right)$ ® Đây là hàm lẻ
Câu 30. Ta có: $x=1to y=-dfrac{7}{4}$ Chọn A.
Câu 31. Đặt AD = x thì CD = x, AB = 2x.
1. $SAbot left( ABCD right),,,BA||CD$ nên k = 1.
2. $dleft( B,CD right)=AD=x$.
3. $AC=sqrt{A{{D}^{2}}+D{{C}^{2}}}=xsqrt{2}Rightarrow h=AC.tan {{60}^{0}}=xsqrt{6}$.
$dfrac{1}{{{left[ dleft( B,SCD right) right]}^{2}}}=dfrac{1}{{{left[ dleft( B,CD right) right]}^{2}}}+dfrac{{{k}^{2}}}{{{h}^{2}}}=dfrac{1}{{{x}^{2}}}+dfrac{1}{6{{x}^{2}}}=dfrac{7}{6{{x}^{2}}}Rightarrow dleft( B,SCD right)=dfrac{xsqrt{42}}{7}=dfrac{asqrt{42}}{7}Rightarrow x=a$
$Rightarrow {{V}_{ABCD}}=dfrac{1}{3}h.{{S}_{S.ABCD}}=dfrac{1}{3}.xsqrt{6}.dfrac{1}{2}x.left( x+2x right)=dfrac{{{x}^{3}}sqrt{6}}{2}=dfrac{{{a}^{3}}sqrt{6}}{2}$ Þ Chọn C.
