Câu 36: Đáp án A
$begin{array}{l}
z = x + y(x,y in R,x in {rm{ }}[{rm{ }} – 2;2])\
(*) < = > y = frac{{{x^2}}}{4}
end{array}$
Để P min thì $|z-2-i{{|}^{2018}}$ min và $|z{{|}^{2}}$ max
Ta tìm $|z{{|}^{2}}$ bằng bao nhiêu(Bài này ý tưởng tác giả cho nó đúng 1 cái max 1 cái min, chứ nếu 2 cái chênh vênh thì rất khó và không phù hợp với thi)
$|z{{|}^{2}}={{x}^{2}}+{{y}^{2}}=dfrac{{{x}^{2}}}{16}+{{x}^{2}}$ với $xin text{ }!![!!text{ }-2;2]$
$|z{{|}^{2}}=dfrac{{{t}^{2}}}{16}+t$ với $tin text{ }!![!!text{ 0;4 }!!]!!text{ = }!!|!!text{ z}{{text{ }!!|!!text{ }}^{2}}_{text{max}}=5text{ khi z=2+i}$
${{P}_{min }}=1+0-{{(sqrt{5})}^{2}}=-4text{ khi z=2+i}$
Câu 37: Đáp án C
Gọi $O’=A’C’cap B’D’;CHbot BD=left{ H right}.$ Ta có:
${{d}_{left( B’;left( A’BD right) right)}}={{d}_{left( O’;left( A’BD right) right)}}$(do $O’B’//BD$).
$={{d}_{left( O’;left( A’BD right) right)}}$(do $O’C//A’O$).
= $CH.$
Mà: $dfrac{1}{C{{H}^{2}}}=dfrac{1}{C{{D}^{2}}}+dfrac{1}{C{{B}^{2}}}=dfrac{4}{3{{a}^{2}}}Rightarrow CH=dfrac{asqrt{3}}{2}.$
Câu 38: Đáp án C
I là tâm đường tròn đáy, bán kinh đáy của hình nón là R, bán kinh đáy hình trụ là r
$begin{array}{l}
{V_{tru}} = {h_{tru}}.{S_{day}}\
SI = R.cot beta \
Delta SAB:frac{{ES}}{{AS}} = frac{{FB}}{{AB}} < = > frac{{frac{r}{{sin beta }}}}{{frac{R}{{sin beta }}}} = frac{{R – r}}{{2R}} < = > r = frac{R}{3}
end{array}$
$begin{array}{l}
frac{{{h_{tru}}}}{{SI}} = frac{{frac{{2R}}{3}}}{R} = > {h_{tru}} = frac{2}{3}SI = frac{2}{3}Rcot beta \
= > {V_{tru}} = frac{2}{3}cot beta .pi {r^2} = frac{2}{3}Rcot beta .pi .frac{{{R^2}}}{9} = frac{{2pi {R^3}}}{{27tan beta }}
end{array}$
Câu 39: Đáp án D
Ta có: $overrightarrow{{{u}_{Ox}}}=left( 1;0;0 right);overrightarrow{{{u}_{Delta }}}=left( 1;-1;-3 right)Rightarrow overrightarrow{{{u}_{d}}}=left[ overrightarrow{{{u}_{Delta }}};overrightarrow{{{u}_{Ox}}} right]=left( 0;-3;1 right).$ Vậy phương trình đường thẳng $left( d right)$ là $left( d right):left{ begin{array}{l}
x = 0\
y = – 3t\
z = t
end{array} right.$
Câu 40: Đáp án B
Ta có: $left{ begin{array}{l}
AB = a\
AC = a\
BC = a
end{array} right. Rightarrow Delta ABC$ đều
$overrightarrow {BB’} left( {0;0;h} right);overrightarrow {AC} left( { – a;0;0} right);overrightarrow {AB} left( {frac{{ – a}}{2};frac{{asqrt 3 }}{2};0} right) Rightarrow left{ begin{array}{l}
overrightarrow {BB’} .overrightarrow {AC} = 0\
overrightarrow {BB’} .overrightarrow {AB} = 0
end{array} right. Rightarrow BB’ bot left( {ABC} right).$
Vậy $ABC.A’B’C’$ là lăng trụ đều.
Câu 41: Đáp án A
Gọi $Ileft( a;0;b right);R$ lần lượt là tâm và bán kính mặt cầu. Ta có:
$R={{d}_{left( I;left( Delta right) right)}}=dfrac{left| 3ma+5sqrt{1-{{m}^{2}}}.0+4mb+20 right|}{sqrt{9{{m}^{2}}+25-25{{m}^{2}}+16{{m}^{2}}}}=dfrac{left| left( 3a+4b right)m+20 right|}{5}$ là đại lượng không đổi$,forall m.$
Do đó: $3a+4b=0Rightarrow R=dfrac{20}{5}=4.$
Câu 42: Đáp án A
Ta có:
${{C}_{1}}$ cạnh $aRightarrow {{S}_{1}}={{a}^{2}}.$
${{C}_{2}}$ cạnh $b=sqrt{{{left( dfrac{3a}{4} right)}^{2}}+{{left( dfrac{a}{4} right)}^{2}}}=sqrt{dfrac{5{{a}^{2}}}{8}}Rightarrow {{S}_{2}}=dfrac{5{{a}^{2}}}{8}.$
…..
${{C}_{n}}$ cạnh $c=sqrt{{{left( dfrac{5}{8} right)}^{n-1}}{{a}^{2}}}Rightarrow {{S}_{n}}={{left( dfrac{5}{8} right)}^{n-1}}{{a}^{2}}.$
Khi đó: $T = {a^2}left[ {1 + frac{5}{8} + …. + {{left( {frac{5}{8}} right)}^{n – 1}} + ….} right] = mathop {lim }limits_{n to + infty } {a^2}left[ {1 + frac{5}{8} + …. + {{left( {frac{5}{8}} right)}^{n – 1}}} right] = {a^2}.mathop {lim }limits_{n to + infty } frac{{1 – {{left( {frac{5}{8}} right)}^n}}}{{1 – frac{5}{8}}} = frac{8}{3}{a^2}.$
Mà $T=dfrac{32}{3}Rightarrow a=2.$
Câu 43: Đáp án D
Gọi số lượng vi khuẩn ban đầu là $x$(con) $left( xin {{N}^{*}} right).$
Số lượng vi khuẩn còn lại sau khi tẩy là $0,01x$(con).
Ta có:
+ Sau 20 phút thì số lượng vi khuẩn là $2.0,01x=0,02x$(con).
+ Giả sử sau 20$k$ phút thì số lượng vi khuẩn phục hồi như ban đầu. Khi đó:
${{2}^{k}}.0,01x=xLeftrightarrow {{2}^{k}}=100Leftrightarrow k={{log }_{2}}100approx 6,644.$
Như vậy, sau $20kapprox 133$ phút thì lượng vi khuẩn sẽ phục hồi.
Câu 44: Đáp án D
Theo Vi-ét ta có: $left{ begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} + {x_3} = frac{1}{a}\
{x_1}{x_2} + {x_2}{x_3} + {x_1}{x_3} = frac{b}{a}\
{x_1}{x_2}{x_3} = frac{1}{a}
end{array} right. < = > left{ begin{array}{l}
frac{b}{a} = {x_1}{x_2} + {x_2}{x_3} + {x_1}{x_3} ge 3sqrt[3]{{frac{1}{{{a^2}}}}} ge 9\
frac{1}{a} = {x_1} + {x_2} + {x_3} ge 3sqrt[3]{{{x_1}{x_2}{x_3}}} = 3sqrt[3]{{frac{1}{a}}}
end{array} right.$
$begin{array}{l}
< = > frac{1}{{{a^3}}} ge 27.frac{1}{a} = > frac{1}{{{a^2}}} ge 27 < = > 0 < a le frac{1}{{3sqrt 3 }}\
P = frac{{5{a^2} – 3{a^2}.frac{b}{a} + 2}}{{{a^3}(frac{b}{a} – 1)}} le frac{{5{a^2} – 27{a^2} + 2}}{{{a^3}(9 – 1)}} = frac{{ – 22{a^2} + 2}}{{8{a^3}}} = frac{{ – 11}}{4}.frac{1}{a} + frac{1}{4}.frac{1}{{{a^3}}}
end{array}$
Đặt $t=dfrac{1}{a}=>tge 3sqrt{3}=>Ple f(t)=dfrac{-11}{4}t+dfrac{1}{4}{{t}^{3}}$
Khảo sát hàm trên ta không tìm được P max => Đáp án D
Câu 45: Đáp án D
Nhớ: $intlimits_{a}^{b}{f(x)dx}=0(f(x)ge 0)<=>f(x)=0$
Ta có:$begin{array}{l}
3intlimits_0^1 {{rm{[}}f'(x){rm{][}}f(x){{rm{]}}^2}dx} + frac{1}{3}intlimits_0^1 {dx} – 2intlimits_0^1 {sqrt {f(x)} f(x)dx} le 0\
< = > intlimits_0^1 {{{(3sqrt {f'(x)} f(x) – 1)}^2}dx} le 0
end{array}$
$begin{array}{l}
< = > 3sqrt {f'(x)} .f(x) = 1\
< = > 9f'(x).{{rm{[}}f(x){rm{]}}^2} = 1\
< = > 3.{rm{{ [}}f(x){{rm{]}}^3}{rm{} ‘ = 1}}\
{rm{ < = > (}}f(x){)^3} = int {frac{1}{3}dx} = frac{x}{3} + C
end{array}$
Mà $f(0)=1=>C=1$
$begin{array}{l}
= > {(f(x))^3} = frac{x}{3} + 1\
= > intlimits_0^1 {{{(f(x))}^3}dx} = intlimits_0^1 {(frac{x}{3} + 1)dx} = frac{7}{6}
end{array}$
Câu 46: Đáp án C
Gọi $z=a+bi$ $left( a;bin mathbb{R} right)$. M là điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng tọa độ Oxy.
Ta có: $begin{array}{l}
left| {frac{{z + 2 – i}}{{overline z + 1 – i}}} right| = sqrt 2 Leftrightarrow left| {z + 2 – 1} right| = sqrt 2 left| {overline z + 1 – i} right| Leftrightarrow {(a + 2)^2} + {(b – 1)^2} = 2{(a + 1)^2} + 2{(b + 1)^2}\
Leftrightarrow {a^2} + {(b + 3)^2} = 10.
end{array}$
Do đó M thuộc đường tròn tâm $I(0;-3)$, bán kính $R=sqrt{10}.$
Vậy $left| z right|min Leftrightarrow OMmin Leftrightarrow O,M,I$ thẳng hàng $Leftrightarrow left| z right|=OM=left| OI-MI right|=left| 3-R right|=sqrt{10}-3.$
Câu 47: Đáp án B
Ta có:
${{S}_{Delta MNC}}=frac{{{S}_{Delta ABC}}}{4}=frac{1}{4}.frac{1}{2}.2a.2a=frac{{{a}^{2}}}{2}$ (đvdt).
$Rightarrow {{V}_{A’.MNC}}=frac{1}{3}AA’.{{S}_{Delta MNC}}=frac{1}{3}.3a.frac{{{a}^{2}}}{2}=frac{{{a}^{3}}}{2}$(đvtt).
Mặt khác: $MN//ABRightarrow MNbot AC.$
Mà $AA’bot mpleft( ABC right)Rightarrow MNbot AA’Rightarrow MNbot mpleft( A’ACC’ right)Rightarrow MNbot A’M.$
Do đó ${{S}_{Delta A’MN}}=frac{1}{2}A’M.MN=frac{1}{2}sqrt{AA{{‘}^{2}}+A{{M}^{2}}}.frac{AB}{2}=frac{1}{2}sqrt{9{{a}^{2}}+{{a}^{2}}}.frac{2a}{2}=frac{{{a}^{2}}sqrt{10}}{2}$ (đvdt).
$Rightarrow {{d}_{left( C;left( A’MN right) right)}}=frac{3{{V}_{A’.MNC}}}{{{S}_{Delta A’MN}}}=frac{3.frac{{{a}^{3}}}{2}}{frac{{{a}^{2}}sqrt{10}}{2}}=frac{3a}{sqrt{10}}$(đvđd).
Câu 48: Đáp án A
Gọi $N$ là trung điểm của $DC;$ $O$ là hình chiếu của $text{S}$ trên $mpleft( ABCD right).$ Ta có: $SM = asqrt 3 ;MN = 2a;widehat {SNM} = {60^0}$
$ Rightarrow cos widehat {SNM} = frac{{S{N^2} + M{N^2} – S{M^2}}}{{2SN.MN}} Leftrightarrow cos {60^0} = frac{{S{N^2} + 4{a^2} – 3{a^2}}}{{2.SN.2a}} Leftrightarrow S{N^2} – 2aSN + {a^2} = 0 Leftrightarrow SN = a$
Nhận thấy rằng:
$M{{N}^{2}}=S{{M}^{2}}+S{{N}^{2}}Rightarrow Delta SMN$ vuông tại S. Do đó:
$OM = frac{{S{M^2}}}{{MN}} = frac{{3{a^2}}}{{2a}} = frac{{3a}}{2};ON = MN – OM = 2a – frac{{3a}}{2} = frac{a}{2}$
$ Rightarrow SO = ON.tan widehat {SNO} = frac{a}{2}tan {60^0} = frac{{asqrt 3 }}{2}.$
Gắn hệ tọa độ Oxyz với O là gốc tọa độ, tia Ox trùng với tia OM; tia Oy cùng hướng với tia AB; tia Oz trùng với tia OS.
Khi đó: $begin{array}{l}
A(frac{{3a}}{2}; – a;0);C(frac{{ – a}}{2};a;0);S(0;0;frac{{asqrt 3 }}{2});M(frac{{3a}}{2};0;0).\
Rightarrow overrightarrow {SM} (frac{{3a}}{2};0;frac{{ – asqrt 3 }}{2})//overrightarrow u (sqrt 3 ;0; – 1);overrightarrow {AC} left( { – 2a;2a;0} right)//overrightarrow v left( { – 1;1;0} right).
end{array}$
Suy ra mặt phẳng $left( P right)$ chứa SM và song song với AC có vectơ pháp tuyến $overrightarrow{n}=left[ overrightarrow{u};overrightarrow{v} right]=(1;1;sqrt{3})$ nên có phương trình:
$left( P right):1.left( x-dfrac{3a}{2} right)+1.left( y-0 right)+sqrt{3}.left( z-0 right)=0Leftrightarrow x+y+sqrt{3}z-dfrac{3a}{2}=0.$
Vậy ${{d}_{left( SM;AC right)}}={{d}_{left( C;(P) right)}}=dfrac{left| dfrac{-a}{2}+a+sqrt{3}.0-dfrac{3a}{2} right|}{sqrt{{{1}^{2}}+{{1}^{2}}+{{sqrt{3}}^{2}}}}=dfrac{asqrt{5}}{5}$(đvđd).
Câu 49: Đáp án A
Xét $xin text{ }!![!!text{ }-pi ;pi text{ }!!]!!text{ };mge 0$
$DK:left{ begin{array}{l}
1 + 2c{rm{osx}} ge {rm{0}}\
{rm{1 + 2sinx}} ge {rm{0}}
end{array} right. < = > frac{{ – pi }}{6} le x le frac{{2pi }}{3}$
$begin{array}{l}
2 + 2(c{rm{osx + sinx}}) + 2sqrt {(1 + 2{mathop{rm cosx}nolimits} )(1 + 2sinx)} = frac{{{m^2}}}{4}\
< = > 1 + {mathop{rm s}nolimits} {rm{inx}} + c{rm{osx + }}sqrt {1 + 4sin xcos x + 2(s{rm{inx + cosx)}}} = frac{{{m^2}}}{8}
end{array}$
Đặt sinx+cosx=t
$begin{array}{l}
= > {mathop{rm s}nolimits} {rm{inx}}.c{rm{osx = }}frac{{{t^2} – 1}}{2}\
x in {rm{[}}frac{{ – pi }}{6};frac{{2pi }}{3} = > t in {rm{[}}frac{{sqrt 3 – 1}}{2};sqrt 2 {rm{]}}
end{array}$
$PT < = > f(t) = 1 + t + sqrt {2{t^2} + 2t – 1} = frac{{{m^2}}}{8}$
Ta xét hàm số f(t) ta thấy f’(t)>0 với $tin text{ }!![!!text{ }dfrac{sqrt{3}-1}{2};sqrt{2}text{ }!!]!!text{ }$
ó $dfrac{1+sqrt{3}}{2}le dfrac{{{m}^{2}}}{8}le 2+2sqrt{2}$
=> m có 3 giá trị nguyên
Câu 50: Đáp án A
Ta có: ${{left( 1+x+{{x}^{2}}+…+{{x}^{10}} right)}^{11}}=dfrac{{{left( {{x}^{11}}-1 right)}^{11}}}{{{left( x-1 right)}^{11}}}$
$Leftrightarrow {{left( {{x}^{11}}-1 right)}^{11}}={{left( x-1 right)}^{11}}.left( {{a}_{0}}+{{a}_{1}}x+{{a}_{2}}{{x}^{2}}+…+{{a}_{110}}{{x}^{110}} right)$ $(*)$
Hệ số của ${{x}^{11}}$ trong vế trái $(*)$ bằng -11.
Hệ số của ${{x}^{11}}$ trong vế trái $(*)$ bằng: $C_{11}^{0}{{a}_{11}}-C_{11}^{1}{{a}_{10}}+…+C_{11}^{10}{{a}_{1}}-C_{11}^{11}{{a}_{0}}.$
Do đó: $C_{11}^{0}{{a}_{11}}-C_{11}^{1}{{a}_{10}}+…+C_{11}^{10}{{a}_{1}}-C_{11}^{11}{{a}_{0}}=-11.$
