Câu 45: Đáp án D
HD: Ta có ${{3}^{x}}+{{a}^{x}}ge {{6}^{x}}+{{9}^{x}}Leftrightarrow fleft( x right)={{3}^{x}}+{{a}^{x}}-{{6}^{x}}-{{9}^{x}}ge 0;,forall xin mathbb{R}.$
Xét $fleft( x right)={{3}^{x}}+{{a}^{x}}-{{6}^{x}}-{{9}^{x}}$ trên $mathbb{R}$, có ${f}’left( x right)={{3}^{x}}.ln 3+{{a}^{x}}.ln a-{{6}^{x}}.ln 6-{{9}^{x}}.ln 9.$
Để $fleft( x right)ge 0;,forall xin mathbb{R}Leftrightarrow underset{mathbb{R}}{mathop{min }},fleft( x right)=0=fleft( 0 right).$ Hay ${f}’left( 0 right)=0Leftrightarrow ln a=ln dfrac{6times 9}{3}Rightarrow a=18.$
Câu 46: Đáp án B
HD: Áp dụng công thức tính nhanh, ta có $dfrac{{{V}_{AMPBCD}}}{{{V}_{ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}’}}}=dfrac{1}{2}left( dfrac{BM}{B{B}’}+dfrac{DP}{D{D}’} right)=dfrac{3}{8}Rightarrow {{V}_{AMPBCD}}=3{{a}^{3}}.$
Câu 47: Đáp án D
HD: Đặt $left{ begin{array}{l}
u = x\
dv = f’left( x right)dx
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
du = dx\
v = fleft( x right)
end{array} right. Rightarrow intlimits_0^{frac{pi }{2}} {x.f’left( x right)dx = x.fleft( x right)left| {_0^{frac{pi }{2}}} right.} – intlimits_0^{frac{pi }{2}} {fleft( x right)dx.} $
Ta có $x.fleft( x right)left| _{0}^{dfrac{pi }{2}} right.=dfrac{pi }{2}.fleft( dfrac{pi }{2} right),$ thay $text{x}=dfrac{pi }{2}$ vào giả thiết, ta được $fleft( dfrac{pi }{2} right)+fleft( 0 right)=0Rightarrow fleft( dfrac{pi }{2} right)=0.$
Lại có $fleft( x right)+fleft( dfrac{pi }{2}-x right)=sin x.cos xLeftrightarrow intlimits_{0}^{dfrac{pi }{2}}{fleft( x right)dx}+intlimits_{0}^{dfrac{pi }{2}}{fleft( dfrac{pi }{2}-x right)dx=intlimits_{0}^{dfrac{pi }{2}}{sin x.cos xdx}}$.
Đặt $t=dfrac{pi }{2}-xxrightarrow{{}}intlimits_{0}^{dfrac{pi }{2}}{fleft( x right)dx}=intlimits_{0}^{dfrac{pi }{2}}{fleft( dfrac{pi }{2}-x right)dx}Rightarrow intlimits_{0}^{dfrac{pi }{2}}{fleft( x right)dx}=dfrac{1}{4}.$ Vậy $intlimits_{0}^{dfrac{pi }{2}}{x.{f}’left( x right)dx}=-dfrac{1}{4}$.
Câu 48: Đáp án C
HD: Ta có $5w=left( 2+i right)left( z-4 right)Leftrightarrow 5w+5i=left( 2+i right)z-8+iLeftrightarrow 5left| w+i right|=left| left( 2+i right)z-8+i right|$
$Leftrightarrow left| left( 2+i right)z-8+i right|=3sqrt{5}Leftrightarrow left| 2+i right|.left| z-dfrac{8-i}{2+i} right|=3sqrt{5}Leftrightarrow left| z-dfrac{8-i}{2+i} right|=3Leftrightarrow left| z-3+2i right|=3$
$Rightarrow $ Tập hợp điểm $Mleft( z right)$ là đường tròn $left( C right):{{left( x-3 right)}^{2}}+{{left( y+2 right)}^{2}}=9,$ tâm $Ileft( 3;-2 right),R=3.$
Gọi $Aleft( 1;2 right),Bleft( 5;2 right)$ và $Eleft( 3;2 right)$ là trung điểm của AB suy ra $P=MA+MB.$
Lại có ${{left( MA+MB right)}^{2}}le 2left( M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}} right)=4.M{{E}^{2}}+A{{B}^{2}}Rightarrow P$ lớn nhất $Leftrightarrow ME$ lớn nhất.
Mà $IE=4>R=3xrightarrow{{}}M{{E}_{max }}=IE+R=7.$ Vậy ${{P}_{max }}=sqrt{4.M{{E}^{2}}+A{{B}^{2}}}=2sqrt{53}.$
Câu 49: Đáp án C
HD: Dựa vào hình vẽ, ta thấy rằng $vleft( x right)in left[ 1;4 right]$ với $forall xin left[ 0;5 right].$
Xét hàm số $fleft( x right)=sqrt{3x}+sqrt{10-2x}$ trên $left[ 0;5 right]$, có ${f}’left( x right)=dfrac{3}{2sqrt{3x}}-dfrac{1}{sqrt{10-2x}}=0Leftrightarrow x=3.$
Suy ra $underset{left[ 0;5 right]}{mathop{min }},fleft( x right)=fleft( 0 right)=sqrt{10};underset{left[ 0;5 right]}{mathop{max }},fleft( x right)=fleft( 3 right)=5Rightarrow sqrt{10}le sqrt{3x}+sqrt{10-2x}le 5.$
Khi đó $m=dfrac{sqrt{3x}+sqrt{10-2x}}{uleft( x right)}$ mà $dfrac{1}{uleft( x right)}in left[ dfrac{1}{4};1 right]xrightarrow{{}}dfrac{sqrt{3text{x}}+sqrt{10-2text{x}}}{uleft( x right)}in left[ dfrac{sqrt{10}}{4};5 right].$
Do đó, phương trình đã cho có nghiệm $Leftrightarrow min left[ dfrac{sqrt{10}}{4};5 right].$
Câu 50: Đáp án A
HD: Số phần tử của không gian mẫu là $nleft( Omega right)=C_{9}^{3}.C_{6}^{3}.C_{3}^{3}=1680.$
Gọi X là biến cố “ không có phần nào gồm ba viên bi cùng màu”.
Khi đó, ta xét chia thành 3 phần: (2X – 1Đ), (1Đ – 2X), (1Đ – 2X).
Suy ra có $C_{4}^{2}.C_{5}^{1}.C_{2}^{1}.C_{4}^{2}.3=1080$ cách chọn $Rightarrow nleft( X right)=1080.$ Vậy $P=dfrac{nleft( X right)}{nleft( Omega right)}=dfrac{9}{14}.$
